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Actividad # 1
Actividad # 2
Actividad # 1 En esta página, se presenta un ejemplo más en el que se analiza la fuerza de rozamiento entre un cuerpo y la superficie horizontal sobre la que desliza. La novedad de este ejemplo, es que la reacción del plano no es constante sino que cambia con el ángulo que forma la fuerza aplicada con la horizontal.
Sea un bloque rectangular de masa m que está situado sobre un plano horizontal. Si aplicamos una fuerza T que hace un ángulo θ con la horizontal, ¿cuál debe ser el valor de dicha fuerza para que el bloque empiece a moverse?. Más aún, determínese el valor del ángulo θ para el cual la fuerza aplicada es mínima.
Habitualmente, los estudiantes tienden a identificar la reacción del plano o la fuerza normal N hacia arriba que ejerce el plano sobre el bloque, con el peso mg si el plano es horizontal, y con la componente perpendicular del peso mgcosθ si el plano está inclinado un ángulo θ. Vamos a ver en este ejemplo, que el valor de la reacción del plano N depende de las otras fuerzas que se aplican sobre el bloque.
En el análisis de este problema solamente estamos interesados en la situación de equilibrio, mientras el bloque está en reposo sobre el plano horizontal, pero no estamos directamente interesados en el movimiento del bloque una vez que ha empezado a deslizar, no obstante, escribiremos las ecuaciones del movimiento.
Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el bloque
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- El peso mg
- La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal.
- La fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque
- La fuerza de rozamiento Fr.
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Las condiciones de equilibrio se escriben
Tcosθ-Fr=0
Tsenθ+N-mg=0
Cuando el bloque empieza a deslizar la fuerza de rozamiento alcanza un valor máximo dado por Fr=μsN, siendo μs el coeficiente de rozamiento estático, y N=mg-Tsenθ
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En esta situación, despejamos T del sistema de ecuaciones.
T es una función del ángulo θ. |
Esta función tiene un mínimo, el mejor ángulo para arrastrar el bloque, que se obtiene derivando T respecto de θ, e igualando a cero.
El valor de la fuerza mínima T que tenemos que aplicar al cuerpo para que empiece a deslizar vale
Una vez que el bloque empieza a moverse, la fuerza de rozamiento disminuye, ya que el coeficiente de rozamiento cinético μk es, de ordinario, menor que el estático μs. En la simulación hemos tomado arbitrariamente la siguiente relación μk=0.9 μs.
Tenemos que aplicar las ecuaciones de la dinámica al bloque y a las pesas que cuelgan de la polea.
El bloque está en equilibrio en la dirección vertical
Tsenθ+N-mg=0
El bloque se mueve con aceleración a a lo largo del plano
Tcosθ-Fr=ma con Fr= μk·N
Las pesas situadas en un platillo se mueven con aceleración a, ya que el platillo está unido al bloque mediante una cuerda inextensible que pasa por la polea.
Mg-T=Ma
Se despeja la aceleración a de las ecuaciones del movimiento del sistema formado por el bloque y las pesas.
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La aceleración a ya no es constante, depende del ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal, y este ángulo depende a su vez de la posición del bloque x. |
Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, hemos de resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante t=0, x=x0, v=0.
Actividad # 2
La fuerza de rozamiento
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son:
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- El peso mg
- La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal.
- La fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque
- La fuerza de rozamiento Fr.
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Las condiciones de equilibrio se escriben
Tcosθ-Fr=0
Tsenθ+N-mg=0
Dado el valor de la fuerza aplicada T, podemos calcular la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque:
N=mg-Tsenθ
La reacción N de la superficie horizontal se anula, es decir, el cuerpo se eleva sobre la superficie, si Tsenθ≥mg. Si N>0 la fuerza de rozamiento Fr tiene uno u otro de los siguientes valores:
-
Si T·cosθ <μs(mg-Tsenθ), el cuerpo está en reposo, y Fr=T·cosθ
-
Si T·cosθ ≥μs(mg-Tsenθ), el cuerpo desliza, y Fr=μk(mg-Tsenθ)
Siendo μs el coeficiente estático de rozamiento
Ejemplo 1:
Sea μs=0.6 y f=0.5,
Comprobamos que el discriminante vale -0.02 es negativo.
Observamos en el applet, que la curva de color verde μs(1-f·senθ) se mantiene por encima de la curva de color rojo f·cosθ, el cuerpo siempre está en reposo y la fuerza de rozamiento vale fr= f·cosθ
La raíz doble de la ecuación de segundo grado vale
tanθ=x= μs
Ejemplo 2:
Sea μs=0.6, calculamos e introducimos el valor de f=0.514
Observamos en el applet, que la curva de color verde μs(1-f·senθ) se mantiene por encima de la curva de color rojo f·cosθ, tocándose para el ángulo θ=31º. El cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento vale fr= f·cosθ. Justamente para este único ángulo el cuerpo empieza a deslizar y la fuerza de rozamiento disminuye al valor μk(1-f·senθ)
Tenemos dos raíces x1 y x2 que corresponden a los ángulos θ1 y θ2, una de ellas es siempre positiva, la otra puede ser positiva o negativa. Supongamos que ambas son positivas tal como se aprecia en la figura,.más arriba
Ejemplo 3:
Sea μs=0.6, e incrementamos la fuerza f=0.55
Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado x1 y x2 y los ángulos correspondientes θ1=10.26 y θ2=51.66,
f·cosθ es menor que μs(1-f·senθ), el cuerpo permanece en reposo y la fuerza de rozamiento es fr= f·cosθ
f·cosθ es mayor que μs(1-f·senθ), el cuerpo desliza y la fuerza de rozamiento fr disminuye al valor μk(1-f·senθ)
f·cosθ es menor que μs(1-f·senθ), el cuerpo permanece en reposo, y la fuerza de rozamiento vale fr= f·cosθ
Por tanto, en el intervalo angular (θ1≤ θ≤ θ2) el cuerpo desliza, para el resto de los ángulos el cuerpo permanece en reposo.
Referencias
Sütt D. Elementary discussion of an optimization problem concerning friction. Physics Education 29 (4) July 1994, 249-252
van den Berg W. The best angle for dragging a box. The Physics Teacher, Vol. 38 Nov. 2000, pp. 506-508
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