Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
Explicación de las ondas estacionarias en una cuerda
En este apartado obtenemos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, fija en sus extremos.
Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda:
- una incidente que se propaga de izquierda a derecha
yi=A·sen(kx-w t)
- y otra que se propaga de derecha a izquierda.
yr=A·sen(kx+w t)
La onda estacionaria resultante es
y =yi+yr=2A·sen(kx)·cos(w t).
Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y una amplitud 2A·sen(kx).
Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A·sen(kx)=0, por lo que kx=np con n=1, 2, 3, .... o bien, x= l /2, l, 3l /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l /2.
Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.
En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l. Para el tercer modo, L=3l /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como
Para hallar las frecuencias empleamos la relación l =vP, o bien l =v/f .
En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
Actividades
Se introduce
- La frecuencia f del movimiento ondulatorio armónico, en el control de edición titulado Frecuencia.
- La velocidad de propagación se ha fijado en la unidad v=1. De modo, que la longitud de onda λ=1/f
Se pulsa en el botón titulado Empieza
Se observa que:
- Una onda estacionaria se origina por la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma frecuencia que se mueven en direcciones opuestas, uno incidente y otro reflejado.
- Cuando la onda incidente se refleja en el origen x=0 experimenta un cambio de fase de π.