Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
En esta página, estudiamos las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Como aplicación práctica describimos un modelo simplificado que explica la deformación de un balón cuando choca contra una pared rígida.
Oscilaciones amortiguadas
La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.
Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.
La ecuación del movimiento se escribe
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.
La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión
La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
- La amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo.
- La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.
- En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.
Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.
Condiciones iniciales
La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0,
x0=A·senj
v0=-Ag·senj+Aw·cosj
En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0
Ejemplo: Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento γ=7.0. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada.
La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es
5=A·senj
0=-7A·senj +99.75·A·cosj
La ecuación de la oscilación amortiguada es
x=5.01·exp(-7t)·sen(99.75t+1.5)
Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial j no es π/2, como en las oscilaciones libres