Tarea experimental: Caracterizar el establecimiento y la caída de una corriente en un circuito RL.
Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
Autoinducción
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En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida. |
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.
1.- El campo magnético creado por el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y la intensidad i.
Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío
La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
Corriente autoinducida
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Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color azul) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone al incremento de corriente.
En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción, y a la derecha se ha sustituido la autoinducción por una fem equivalente. La ecuación del circuito es (intensidad por resistencia igual a suma de las fem)
iR=V0+VL
Se obtiene la ecuación diferencial
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.
Si R/L es grande como sucede en la mayor parte de los casos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo V0/R muy rápidamente.
Caída de la corriente en un circuito
Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente. La ecuación del circuito es ahora, sin batería es
iR=VL
Se obtiene la ecuación diferencial
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos en los que R/L es grande, la corriente desaparece muy rápidamente.
Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa en parte, en la resistencia por efecto Joule y en parte, se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito
iR=V0+VL
Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.
El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos la energía magnética necesaria para aumentar la corriente de 0 a i
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético cuando por la bobina circula una corriente de intensidad i.
Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe
La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula
La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.
Comprobación
Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia.
La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0 es
Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será P=i2R
Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.
Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito
Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia.
Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante un tiempo P/2.
La intensidad final, en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula
En el instante t=P/2 la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito. La corriente i2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,
En el siguiente paso, se vuelve a establecer la corriente en el circuito, la integración no es entre los límites 0 y i, sino entre la intensidad remanente i2 e i.
Calculamos la intensidad final i3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.
Actividades
El establecimiento y caída de una corriente en un circuito la podemos observar introduciendo una señal cuadrada en el circuito RL. Representamos conjuntamente la fem V0 y la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia vR=iR en la pantalla de un "osciloscopio".
Introducimos los siguientes datos
- La resistencia R en W
- La autoinducción L (en mH ó 10-3 H)
- La fem V0, en voltios
- La frecuencia f en Hz de la señal cuadrada. El periodo P es la inversa de la frecuencia, P=1/f . Por ejemplo, si la frecuencia es 40 Hz el periodo es 0.025 s
Se pulsa en el botón titulado Gráfica.