Tarea experimental: Estudio del comportamiento de un circuito LRC conectado a una batería
Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
En esta página, se estudia el comportamiento de un circuito LCR conectado a una batería. Se estudia el estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario después de un cierto tiempo teóricamente infinito, pero que en la práctica viene determinado por el valor de la constante γ.
Uno de los aspectos más interesantes de este circuito es que la diferencia de potencial en el condensador puede ser mayor que el de la batería.
Ecuación del circuito
Consideremos el siguiente circuito formado por un condensador de capacidad C, una resistencia R, una autoinducción L y una batería de fem V0 sin resistencia interna.
El condensador está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que
- El condensador C tiene una carga q
- Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.
- Por la autoinducción L circula una corriente de intensidad i.
Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y d, d y a.
La ecuación del circuito será
Vab+Vbc+Vcd+ Vda =0
- En la batería el potencial del polo negativo a es menor que el polo positivo b, de modo que Vab=-V0
- En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego Vbc=iR
- En el condensador C el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que Vcd=q/C
- En la autoinducción es equivalente a una batería que se está cargando, ya que se opone a que aumente la intensidad. La diferencia de potencial entre d y a es igual a la fem autoinducida VL cambiada de signo.
La ecuación del circuito es
Con i=dq/dt.
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
La primera y1 una constante, es la solución particular y la segunda la solución general que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas γ<ω0.
Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que
y1=CV0
Inicialmente el condensador C está descargado q=0, y la intensidad i=dq/dt es cero.
Las condiciones iniciales q=0, y dq/dt=0 determinan las constantes A y B. Después de hacer algunas operaciones tenemos que
Comprobamos que en el instante t=0, q=0 e i=0, y que para t→∞,
Diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito
- En la batería el potencial del polo negativo a es menor que el polo positivo b, de modo que
Vab=-V0
- En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego
- En el condensador C el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que
- En la autoinducción es equivalente a una batería que se está cargando, ya que se opone a que aumente la intensidad. La diferencia de potencial entre d y a es.
Estudio energético
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La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es
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La energía almacenada en la autoinducción en forma de campo magnético es
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La energía disipada en la resistencia es
Se integra por partes, para llegar a la expresión final se tiene en cuenta que
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La energía suministrada por la batería es
Se puede comprobar la conservación de la energía
UV=UC+UL+UR
Una parte de la energía suministrada por la batería se almacena en el condensador, otra parte en la autoinducción y el resto se disipa en la resistencia.
Después de un tiempo t→∞
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La carga en el condensador tiende a CV0, la energía almacenada en el condensador es
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La intensidad tiende a cero, no hay energía almacenada en la autoinducción
UL=0
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La energía disipada en la resistencia tiende a
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La energía suministrada por la batería tiende a
UV=CV0
La mitad de la energía suministrada por la batería se almacena como energía del campo eléctrico en el condensador y la otra mitad se disipa en la resistencia. El mismo resultado obtenido en la carga del condensador sin autoinducción