Tarea experimental: Estudio del funcionamiento básico de un cohete
Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
Una forma de impulsar un cohete es la de emplear un haz de partículas cargadas, tal como se muestra en la figura.
El propulsor se ioniza en la fuente de iones S y se expulsa como haz de iones positivos con una velocidad que depende de la diferencia de potencial V existente entre S y el anillo acelerador B. Para evitar que el cohete se cargue se inyectan electrones en el haz mediante el filamento F. El haz se enfoca mediante el anillo A.
Los motores iónicos se emplean en el espacio exterior, cuando se precisan pequeños empujes para corregir la altitud o trayectoria de los satélites.
Lorrain P., Corson D. Campos y Ondas Electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), problema 4.28, págs. 203-204
Fundamentos físicos
Sea dm/dt la masa del haz de partículas que salen de la fuente S en la unidad de tiempo, con una velocidad u respecto del cohete.
La fuerza de empuje es
 |
Sea n el número de partículas por unidad de volumen,
u la velocidad media de dichas partículas, S la sección
del haz y mp la masa de cada partícula.
La masa m de combustible expulsada en un tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud u·t. |
Masa m= (número de partículas por unidad de volumen n)·(masa de cada partícula mp)· (volumen del cilindro Sut)
m=n·mp·S·u·t
por lo que
El flujo de masa, o masa que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo es el producto de los siguientes términos:
- Número de partículas por unidad de volumen, n
- La masa de cada partícula, mp.
- El área de la sección normal, S
- La velocidad media de las partículas, u.
De modo análogo, la intensidad I del haz, es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que será el producto de los siguientes términos:
- Número de partículas por unidad de volumen, n
- La carga de cada partícula, q.
- El área de la sección normal, S
- La velocidad media de las partículas, u.
I=nqSu
La fuerza de empuje la podemos escribir en términos de la intensidad del haz de iones que salen de la fuente.
F=Impu/q
La velocidad con las que se mueven las partículas del haz depende de la diferencia de potencial acelerador V, entre la fuente S y el electrodo B. Suponiendo que los iones en la fuente tienen una velocidad nula. Su velocidad u al llegar al anillo B es
La fórmula de la fuerza de empuje será
La potencia eléctrica consumida (energía por unidad de tiempo) es el producto de la intensidad del haz de iones I por el potencial acelerador V.
P=I·V
La fuerza de empuje la podemos escribir en términos de la potencia P
para una potencia P dada del motor, es preferible utilizar iones pesados que tengan la carga del electrón q=1e y un potencial acelerador V tan bajo como sea posible.
El papel del filamento F que inyecta electrones al haz
Si no se añaden electrones al haz, es decir, se desconecta el filamento F, el cohete va perdiendo carga positiva, llegará un momento en que adquiera un potencial igual al que sirve para acelerar los iones. En estas condiciones el motor deja de funcionar, ya que los iones no son acelerados y siguen al cohete.
Supongamos que la corriente es I, que el potencial acelerador es V, y que el cohete tiene forma esférica de radio R.
El potencial V de unconductor esférico de radio R cargado con una carga Q, es
La relación entre carga e intensidad es
Q=I·t
Dado V, I y R podemos calcular el tiempo que transcurre hasta que deja de funcionar el motor iónico si se desconecta la fuente F de electrones.
Ejemplo:
Sea R=1 m, I=1 A, y V=50000 V, tenemos que t=5.5 microsegundos, es el tiempo que tarda en dejar de funcionar el cohete.
Dinámica del cohete
La segunda ley de Newton se enuncia: la masa por la aceleración del cohete es igual a la fuerza de empuje. La masa M del cohete es prácticamente constante, ya que la masa del combustible expulsado como veremos más adelante, es despreciable frente a la carga útil, por lo que la aceleración a es constante.
Ma=F
v=at
x=at2/2
El applet simula el funcionamiento básico de un cohete provisto de un motor iónico, para que pueda ser comparado con un cohete estándar de combustible sólido o líquido.
Se introduce
- La diferencia de potencial V entre la fuente de iones y el anillo acelerador, en el control de edición titulado Diferencia de potencial.
- La intensidad I del haz de iones, en el control de edición titulado Intensidad
- La masa mp de los iones en unidades de masa atómica (1 uma=1.67·10-27 kg), en el control de edición titulado Masa
- La carga q, en unidades de la carga del electrón (e=1.6·10-19 C) en el control de selección titulado Carga ión
- La masa M del cohete, en el control de edición titulado Masa del cohete
Se pulsa el botón titulado Empieza
También podemos cambiar la masa del cohete, que es prácticamente igual a la de la carga útil, ya que como veremos la masa de combustible expulsado es despreciable.
Ejemplo:
- Sea la intensidad del haz I=1 A.
- El potencial acelerador V=50000 V
- El combustible empleado son protones cuya masa es mp=1 uma y cuya carga es q=1 e.
- El cohete tiene una masa de M=1 kg.
La pérdida de masa en cada segundo es
La masa del combustible expulsado es despreciable frente a la carga útil del cohete.
Si el cohete tiene una masa M=1 kg, su aceleración es de a=0.032 m/s2 , en el espacio exterior recorre 1.6 m en 10 s, partiendo del reposo.
Probar el funcionamiento del cohete en las siguientes situaciones:
Con la misma potencia P=I·V , es decir que el producto de intensidad por diferencia de potencial sea constante, comparar los siguientes casos:
- V=5000, I=10 A
- V=50000, I=1 A
- Comprobar el efecto de la masa de los iones: ligeros mp=1 uma y iones pesados mp=50 uma;
- Comprobar el efecto de la carga q= 1e, q=3e.