Interférences à trois sources

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On utilise un dispositif de trois fentes d'Young équidistantes; les fentes latérales ont une largeur fixe a et on peut régler la largeur b de la fente centrale. Le système est éclairé en lumière monochromatique par une fente placée au foyer d'une lentille convergente. Les trois fentes sont éclairées en lumière parallèle et constituent trois sources synchrones. On observe dans un plan parallèle au plan des sources situé à la distance L de celles-ci.
Les sources étant synchrones et les vibrations lumineuses ayant la même direction, on a des interférences. A cause de la symétrie du dispositif, la représentation de Fresnel, permet un calcul rapide de l'intensité lumineuse.
Soient A l'amplitude des ondes émises par les fentes latérales, B l'amplitude de l'onde émise par la fente centrale et ± j le déphasage entre les ondes planes issues des sources latérales et de la fente centrale. On admet que les amplitudes sont proportionnelles à la largeur des fentes.
L'amplitude de l'onde résultante est : B + 2A.cos(j).
Cas particuliers :
Si la fente centrale est fermée, l'intensité lumineuse est : I(x) = 4.A2.cos2j.
Si b = a, montrer que l'intensité est donnée par :
I(x) = A2[1 + 2.cos(j)]2 = A2.[sin23(j/2)]/sin2(j/2)
Chercher alors l'intensité et les positions des maxima principaux et secondaires.
Si b = 2.a, montrer que l'intensité est donnée par :
I(x) = 16.A2.cos4(j/2)
  Remarques :
* Avec les dispositifs réels, il faut tenir compte des phénomènes de diffraction liés aux dimensions des sources utilisées. La figure d'interférence est modulée par la figure de diffraction des fentes.

L'applet :
En glissant le curseur vert avec la souris, on peut faire varier la largeur de la fente centrale entre 0 et deux fois la largeur des fentes latérales.
La courbe de l'intensité lumineuse dans le plan d'observation est tracée en fonction du déphasage. Enfin l'image correspondante du plan d'observation est dessinée.
Thomas YOUNG (1773-1829) Physicien et égyptologue anglais.

Représentation de Fresnel

Commentaires :
Dans la représentation de Fresnel, on associe à la grandeur y1(t) = A.sin(wt + j1) un vecteur V1 qui tourne autour de l'origine avec la vitesse angulaire constante w.
La grandeur physique étudiée est la projection de ce vecteur sur l'axe vertical Oy.
Attention :
Dans le cas où les grandeurs étudiées sont des grandeurs vectorielles, les vecteurs tournants de la représentation de Fresnel représentent l'évolution des amplitudes au cours du temps. Ils ne correspondent pas à la direction des vibrations.
Quand on étudie les phénomènes d'interférences optiques, les vibrations qui peuvent interférer doivent avoir la même direction de vibration et être cohérentes.

Somme de deux vibrations de même fréquence et cohérentes.
Soient y1(t) = A.sin(wt + j1)et   y2(t) = B.sin(wt + j2) les amplitudes de deux vibrations.
A y1(t) on associe le vecteur V1 et à y2(t) le vecteur V2.
L'amplitude de la vibration résultante y(t) = y1(t) + y2(t) est la projection du vecteur V = V1 + V2 sur l'axe Oy.
Lors de la rotation, le parallélogramme formé par l'origine et les extrémités des trois vecteurs tourne autour de l'origine sans se déformer. La représentation de Fresnel met en évidence les différences de phase entre les grandeurs à additionner et permet de déterminer facilement l'expression analytique de la somme des deux ou de plusieurs vibrations.
On voit immédiatement que la projection x du vecteur somme sur Ox est la somme des projections x1 et x2 sur Ox des deux grandeurs. Il en va de même pour les projections y, y1 et y2 sur Oy.
Donc le carré de l'amplitude de la somme (proportionnel à l'intensité lumineuse) est C2 = (x1 + x2)2 + (y1 + y2)2.
Les relations métriques dans les triangles donnent également C2 = A2 + B2 + 2A.B.cos(j).
Si on écrit y1(t) et y2(t) sous la forme y1(t) = a.cos(wt) et y2(t) = b.sin(wt) on voit que la somme est y(t) = C.cos(wt - j) avec C2 = a2 + b2 et tg(j) = b/a. 

L'applet :
La partie gauche de l'animation présente trois vecteurs tournants.
Le vecteur rouge est la somme des vecteurs vert et bleu qui correspondent à des grandeurs de même fréquence et cohérentes.
En glissant le curseur rouge avec la souris, on peut modifier leur différence de phase.
Il est aussi possible de modifier les amplitudes relatives des deux grandeurs en glissant le curseur vert avec la souris.
L'amplitude de la vibration résultante est la projection (en blanc) du vecteur rouge sur l'axe Oy .
La partie droite représente l'évolution temporelle des amplitudes des grandeurs étudiées et de leur somme.
Une pression sur le bouton droit de la souris permet de geler l'animation.

Augustin FRESNEL (1788-1827) Fondateur de la théorie ondulatoire de la lumière.