2.8 Semiconductores

Introducción

El comportamiento de los distintos materiales ante al conducción eléctrica es muy variado.

En la práctica no existe ninguna magnitud física que tenga un rango de variación tan extenso como el de la conductividad eléctrica, entre los excelentes conductores como el oro y los excelentes aisladores como la porcelana.

Los valores de la conductividad de los llamados semiconductores se corresponden con los valores intermedios de este amplio rango de valores.

Sin embargo, la principal diferencia el comportamiento ante la conducción eléctrica entre los semiconductores y los buenos conductores y aisladores se produce por la dependencia con la temperatura de esos materiales de la conductividad eléctrica.

Este es el asunto de estudio del siguiente apartado.

2.8.1 Discusión inicial

Se discutirán las siguientes afirmaciones:

1. El nivel de Fermi, desde el punto de vista energético, consiste del nivel de energía de los electrones más energéticos cuando el material está a la temperatura del cero absoluto.
2. En un material semiconductor puro la cantidad de electrones en la banda de conducción coincide con la cantidad de huecos en la banda de valencia. También las movilidades de ambos portadores de carga eléctrica son iguales.
3. En un material semiconductor "dopado" las cantidades de electrones en la banda de conducción y de huecos en la banda de valencia no son iguales. Si nos mayoritarios los huecos en la banda de valencia, se dice que el material es de tipo N y si son los electrones en la banda de conducción los portadores mayoritarios se dice que se trata de un material tipo P.

2.8.2 Estadística de Fermi. Nivel de Fermi

Si se pretende calcular la densidad de electrones en el caso de los semiconductores, debido a existencia de una banda prohibida muy ancha se tendría que separar la correspondiente integral, que toma en cuenta la densidad de estados electrónicos por unidad de energía N(e) y la función de distribución de Fermi f(e), en las dos siguientes integrales:

donde e_v es el valor máximo de la energía en la banda de valencia y e_c es el mínimo de la energía en la banda de conducción. Esta ecuación permite escribir lo siguiente:

Esta ecuación indica la igualdad entre las densidades de huecos en la banda de valencia y de electrones en la banda de conducción para el caso de los materiales semiconductores puros. Esto es se cumple que n_h = n_e.

Como se pude probar fácilmente la unidad menos la función de distribución de probabilidades de Fermi es igual a la propia función de Fermi, pero desplazada a un nuevo valor de la energía dado por –(e -e_F) y que denotaremos por (e_h + e_Fh). Esto significa que la probabilidad de encontrar un hueco en al nivel de energía e con una diferencia del nivel de Fermi |e -e_F| por debajo de ese nivel es igual a al probabilidad de encontrar un electrón situado con una energía por encima de ese nivel de Fermi igual a |e -e_F|. Entonces tanto los electrones como los huecos obedecen a la estadística de Fermi – Dirac, pero para el caso de los huecos todo ocurre como si la energía fuera medida en el sentido contrario. Como es conveniente medir todas las energías de los electrones desde la misma referencia se escoge el valor e_c tomemos la variable e_e = e – e_c . Para las energía de los huecos usaremos a variable e_h = e – e_v de tal forma que las energías de los huecos se mide desde el valor máximo de energía de la banda de valencia. Bajo estos presupuestos los niveles de Fermi de los huecos y los electrones son, para estas variables dadas por los valores e_h= –e_Fh y e_e= – e_Fe.

Entonces se tiene que:

Por otro lado los valores e_Fe y e_Fh se corresponden al mismo nivel de Fermi que regula el equilibrio total. Como los niveles establecidos por este procedimiento para medir las correspondientes energías de los huecos y de los electrones estas separados en un valor igual al ancho de la banda prohibida se tiene que:

En la figura se ofrece una representación de estas referencias para medir la energía:

Se puede demostrar que la energía del nivel de Fermi cae en la zona de la banda prohibida, de modo que los valores e_Fe y e_Fh son positivos y mucho mayores que kT y bajo estas condiciones las funciones de Fermi para electrones y huecos son prácticamente indistinguibles de las distribuciones clásicas en los intervalos positivos e_e y e_h, de tal manera que:

Esto permite simplificar en algo el cálculo de las integrales indicadas más arriba, además se puede probar que cerca del fondo de la banda de conducción la densidad de estados electrónicos toma la forma:

donde m_{ef elec} es la llamada masa efectiva del electrón. Veamos la interpretación de esta magnitud. En el fondo de la banda de conducción existe un mínimo para la energía. En un diagrama de la dependencia de la energía con el vector número de onda k se tiene una dependencia que permitirá una aproximación parabólica, lo que implica la consideración del gas de electrones como electrones libres. En general al realizar el desarrollo en serie de potencias de la energía alrededor de ese punto de mínima energía se obtienen unos coeficientes del tipo:

donde i,j corren por estos valores para designar las coordenadas cartesianas del vector de onda k. Nótese que estos coeficientes son los coeficientes de un tensor de segundo orden. Para el caso de que la superficie de la energía sea isótropa se tiene que si i y j son distintos el coeficiente correspondiente será nulo y los tres coeficientes para los casos en que i y j sean iguales, tal que se tiene:

En la gráfica siguiente se representan dos ejemplos de esta magnitud:

De esta forma se aprecia que esta magnitud representa las propiedades inerciales de electrón en la banda de conducción, pero no de forma individual, sino que toma en cuenta el efecto de conjunto de todo la acción del cristal sobre esos electrones ya que depende del "perfil" de la dependencia entre la energía en la banda de conducción con el número de ondas.

Al realizar la integral para el cálculo de la densidad volumétrica de electrones en la banda de conducción y de los huecos en la banda de valencia se tienen los resultados siguientes:

y

donde la masa efectiva para los huecos se toma de forma semejante a la de los electrones, pero esta magnitud toma el cuenta el perfil de la curva de la energía de los huecos en al banda de valencia en su dependencia con el número de ondas y donde se ha de tomar en cuenta que la variable e_h se mide en el sentido inverso.

Como se cumple que ambas densidades volumétricas son iguales, entonces se tiene que:

Y esto implica que:

Lo que indica que la densidades de ambos portadores de carga dependen de factor de Boltzmann tal que todo ocurre como si se necesitara una energía igual a ½e_gap.

A la primera de estas ecuaciones se le llama Ley de Acción de Masas.

Todas estos resultados son válidos para los materiales semiconductores puros y mientras se cumpla que e_gap >> kT, esto es, para los semiconductores intrínsecos a temperaturas moderadas.

Para el caso de la conducción en los metales se tenía que se pude definir la movilidad de los electrones a partir de la expresión:

En el SI esta magnitud se mide en m²/V×s.

De forma que se pueden escribir las ecuaciones:

y

Para el caso de la conducción en semiconductores intrínsecos se debe tomar en cuenta que existe también la contribución de los huecos, de donde definiremos las movilidades de ambos tipos de portadores como:

y

Siendo estas magnitudes tales que la movilidad de los huecos es menor que la de los electrones debido a que para el caso de los huecos su movimiento se origina por el desplazamiento en sentido contrario de un electrón que viene a ocupar ese "hueco". Esto está dado en las expresiones de las definiciones por el hecho de que el tiempo medio entre choque para los huecos es menor, aunque también influye en hecho de que puede ocurrir que masas efectivas no sean iguales.

Entonces para la conductividad del semiconductor intrínseco se tiene:

Como estas magnitudes de la movilidad tienen una débil dependencia con la temperatura (ambas disminuyen al aumentar la temperatura) comparada con la fuerte dependencia con la temperatura de las concentraciones de ambos tipos de portadores de carga, la conductividad en los semiconductores intrínsecos depende de al temperatura en la misma forma que lo hace la concentración volumétrica de ambos tipos de portadores de carga. Esto hace que la conductividad en el cero absoluto sea nula y a medida la temperatura sube la conductividad va aumentando (aunque en esta dependencia se debe tomar en cuenta que el propio valor del gap energético puede variar para temperaturas más elevadas). En esta forma de depender de la temperatura la conductividad está la principal diferencia con el caso de la conducción en metales.

Los semiconductores requieren de altas purezas para que manifiesten sus propiedades como tales. Sin embargo estos materiales son usualmente mezclados con impurezas, después de obtener altas purezas en ellos, de forma controlada. Existen dos tipos de impurezas a utilizar: las llamadas impurezas donoras que son las que pertenecen al grupo V de la tabla periódica (P, As, Sb, etc.) que aportan un electrón por átomo de impureza y las impurezas aceptoras que son las que pertenecen al grupo III de la tabla periódica (B, Ga, In, etc.).

Para el primer caso se tiene que al principio a bajas temperaturas el electrón adicional de cada átomo de impureza se mantiene ligado al núcleo de la misma, pero a medida que aumenta la temperatura y mucho antes que algún electrón de valencia del material semiconductor rompa su enlace, el electrón de la impureza queda libre. Según la teoría de bandas las impurezas de ese tipo hacen aparecen en la zona prohibida de energía determinados niveles muy cercanos a fondo de la banda de conducción y a tales niveles se les llama niveles llamados niveles donores (para el caso de que el semiconductor dopado sea el Ge y el dopaje se realice con impurezas de P la diferencia entre el nivel de la energía del fondo de la banda de conducción y el del primer nivel donor es de 0,01 eV y si el semiconductor es el Si esta diferencia es de 0.005 eV).

Estos niveles donores en la bajas temperaturas están ocupados y al aumentar la temperatura estos electrones pasan a la banda de conducción con gran facilidad y además sin que se forme el correspondiente hueco en la banda de valencia. A este tipo de semiconductor dopado o extrínseco se le llama semiconductor tipo N.

De forma semejante en el caso de que las impurezas sean aceptoras se formarán por encima del límite superior de la banda de valencia y en la zona de energías prohibidas los niveles aceptores, que a bajas temperaturas están vacíos y al aumentar la temperatura pueden ser ocupados con facilidad por electrones de la banda de valencia con la correspondiente formación de huecos en al banda de valencia y sin la correspondiente aparición de electrones en la banda de conducción. A este tipo de semiconductores extrínsecos se les llama materiales tipo P.

De estas forma en los materiales tipo P existe una concentración de huecos mayor que de huecos y en tanto en los del tipo N los portadores mayoritarios son los electrones.

Aún para los materiales semiconductores dopados o extrínsecos se cumple la ley de acción de masas (cabe señalarse que el estudio estadístico en estos casos se complica por el hecho de la ocupación o no los niveles de impureza, pero el cumplimiento de la ley de acción de masas permite una simplificación de esos estudios). Esto significa que aún en estos casos se tiene que:

donde n_i es la densidad volumétrica de electrones o de huecos en ese mismo material si no estuviera dopado.

Para los materiales semiconductores puros el nivel de Fermi está a medio camino dentro de la zona prohibida entre los límites superior de la banda de valencia e inferior de la banda de conducción. Pero para el caso de los materiales dopados esto no es así. Por el efecto de el paso de los electrones desde los niveles donores a ala banda de conducción en el caso de los materiales tipo N y el paso de electrones hacia los niveles aceptores desde la banda de valencia, la formación de pares electrón – hueco se ve disminuida y en por esto que el nivel de Fermi se desplaza de forma que lo hace, dentro de la banda o zona prohibida, hacia la banda de conducción para los materiales tipo N y hacia la banda de valencia en los materiales tipo P.

Al realizar una análisis de la dependencia con la temperatura de la conductividad en los materiales semiconductores extrínsecos se tiene la influencia de múltiples factores que se combinan de forma tal que resulta una gráfica del logaritmo de la concentración de portadores de carga eléctrica vs. la temperatura, tal y como se muestra:

A bajas temperatura casi toda la conducción se produce por los portadores de carga aportados por la impurezas. Al ir aumentar la temperatura aumentará la cantidad de estos portadores al ir aumentando la ionización de las impurezas. Luego al pasar de una cierta temperatura T₁ y hasta que se alcance la temperatura T₂ las impurezas ya están totalmente ionizadas, pero aún no se produce un aumento considerable de los procesos que llevas a la formación de pares electrón – hueco y por esta razón la densidad volumétrica de portadores de carga se mantiene prácticamente constante y habrá una disminución de la conductividad debido a la disminución de la movilidad de los portadores mayoritarios (electrones o huecos según el caso) y por último al continuar aumentando la temperatura se produce un aumento considerable de la cantidad de pares electrón – huecos y la conductividad aumenta considerablemente produciéndose básicamente por los portadores surgidos del comportamiento intrínseco.

Analicemos ahora lo que sucede al poner en contacto dos materiales de dopados de forma que uno sea tipo P y el otro tipo N. Esto conformará la unión P – N.

Al principio del contacto y sin aplicar tensión externa alguna y debido al gradiente de concentración los huecos que están como portadores mayoritarios en la zona P y los electrones que están como portadores mayoritarios en la zona N, se producirá por difusión de unos y otros desplazamientos de los huecos hacia la zona N y de los electrones hacia la zona P. Este proceso difusivo provoca que en la zona P en la cercanías de la frontera aparecerá una densidad de cargas negativas y en la zona N y también en las cercanías de la frontera se formará un exceso de cargas positivas esto dará lugar a que en esas zona a ambos lados de la frontera de la unión y que llamaremos región de carga espacial, se instaure un campo electrostático que tenderá a frenar ese proceso difusivo y se llegará a una situación de equilibrio entre la influencia de los gradientes de concentración y la acción del campo electrostático. En esa región de carga espacial se forma una situación semejante a la de un capacitor. Si se trata de describir el campo electrostático que se instaura en la región de carga espacial a través del potencial se tendría que para los electrones se tendrá una barrera de potencial que va aumentando desde cero en la zona N hasta un valor máximo el zona P y cuya variación se produce en toda la extensión de la región de la carga espacial. De forma semejante se tiene un perfil de potencial para los huecos, pero que va desde cero en la zona tipo P hasta una valor máximo en la zona N.

Debido a este campo electrostático que se instaura en la región de carga espacial, se producirá una pequeña corriente de los portadores minoritarios en el sentido dada por el sentido de las líneas de E. Pero estas corrientes son de sentidos contrarios, la de electrones y huecos, y como las densidades de portadores formados bajo el mecanismo intrínseco son iguales, estas corrientes son iguales y des sentidos contrarios.

Cuando a la unión se polariza mediante la aplicación de una tensión externa se puede hacer de dos maneras, una la llamada polarización directa en la cual se conecta al parte del material tipo P la polaridad positiva de la tensión externa y se polariza negativamente la parte del material tipo N. La llamada polarización inversa se logra haciendo lo contrario.

Cuando se polariza la unión de forma directa se altera el equilibrio producido entre los efectos contrarios dados por el gradiente de concentraciones de portadores mayoritarios y por la acción sobre esos portadores del campo electrostático instaurado en la región de carga espacial. Como consecuencia de esto la extensión de la región espacial diminuye y además se debilitan las correspondientes barreras de potencial para los electrones y huecos mayoritarios. La intensidad de la corriente que se produce no solo aumenta con la tensión aplicada, sino que lo hace de forma que la pendiente de la gráfica voltio – ampérica aumenta con el aumento de la tensión aplicada. La forma de esta curva viene descrita por la función:

donde V es el potencial externo aplicado.

En las figuras siguientes se muestran de forma esquemática las formas de esta curva voltio - ampérica para una unión P-N, primero para la rama correspondiente a la polarización directa de la unión (lo que significa que la parte P de la unión se coloca al borne positivo de la fuente) y en segundo lugar para la rama correspondiente con la polarización inversa de esa unión. Estas gráficas no están dibujadas a escala, pues los valores de las intensidades de la corriente cuando la polarización es inversa, ante de que es tenga el valor del potencial inverso necesario para la avalancha, son muy pequeños.

Para la polarización inversa se produce un aumento de la altura de las correspondientes barreras de potencial y además se aumenta la extensión de la región de carga espacial. Por esta consideración al corriente debía tener una intensidad nula. Sin embargo debido a la acción del campo externo sobre los portadores formados por el mecanismo intrínseco, es decir, lo electrones y huecos que se forman por pares, aparece una pequeña corriente que la cual es caso independiente del potencial aplicado. Esta corriente tiene una intensidad del orden de la decena de microampere. También para esta parte de la característica voltio – ampérica se cumple la ecuación indicada más arriba pero con el signo cambiado.

De esta forma de la característica voltio – ampérica de las uniones P –N es que se aprovecha la aplicación de esas uniones en la construcción de diodos rectificadores.

Al aumentar el potencial en la polarización inversa se produce un aumento inusitado de la intensidad de la corriente. En el seminario se podrá explicar con detalles ese efecto. Este efecto llamado de avalancha es el que con el correspondiente resistor en serie para limitar el valor de la intensidad de corriente y que no se destruya el cristal y la unión, se utiliza en los llamados diodos Zener.

2.8.3 Conclusiones

Una de las ciencias que más desarrollo ha alcanzado en los últimos años ha sido la Electrónica, en particular la Microelectrónica. Este desarrollo se ha propiciado, entre otros factores gracias a los avances de las Ciencias de los Materiales y a las grandes necesidades crecientes y nacientes en el campo de la computación y de las comunicaciones.

Y el principio de todo este desarrollo estuvo en los estudios acerca de las propiedades ante la conducción eléctrica de los llamados semiconductores.

Desde ahí se originó todo el progreso ulterior en cuanto a los circuitos electrónicos compactados en los llamados microships o circuitos electrónicos integrados.

Ya vida de la sociedad humana sería inconcebible sin estos dispositivos que automatizan un sin número de actividades y que además han permitido lanzar las comunicaciones a estadios inimaginables solo hace unos pocos años.

Aquí radica la importancia de estos estudios elementales de estos materiales, como primer peldaño en estas interesantes propiedades y en sus aplicaciones en la tecnología y en toda la vida social.

2.8 Propiedades magnéticas de las sustancias

Introducción

De forma semejante a como se vio las interacciones de las sustancias con el campo electrostático, es ahora de interés estudiar las interacciones de las sustancias con el campo magnético.

En presencia de medios que son capaces de magnetizarse la Ley de Ampere, se mantiene en su cumplimiento al igual que las definiciones que se han revisado hasta el momento, pero producto de la magnetización de las sustancias no se conocen de antemano todas las características de las distribuciones de corriente, pues las corrientes a nivel de las unidades estructurales que componen la sustancia y que son responsable de la magnetización de la sustancia, hasta que no se conozca el campo vectorial Inducción Magnética. Por esta razón es que se reformula la Ley de Ampere para que quede expresada en términos de la circulación de un nuevo campo vectorial, que llamaremos Intensidad del Campo Magnético y cuya circulación solo depende de las corrientes eléctricas que son extrañas o externas a las sustancia.

Por otro lado el propio comportamiento de las distintas sustancias es de sumo interés pues las respuestas a las interacciones con el campo magnético son muy variadas y estos distintos tipos de comportamiento se pueden emplear de diversas formas en las aplicaciones técnicas de estas propiedades.

2.9.1 Discusión inicial

Se discutirán las siguientes afirmaciones:

1. Los cuerpos de las distintas sustancias al interactuar con el campo magnético asociado con un determinado ente, tal como un imán permanente, son atraídos hacia el imán o no sufren la acción de ninguna fuerza debido a esa interacción.
2. Las unidades estructurales de las sustancias tales como las moléculas se comportan con pequeñas entidades que producto de las corrientes eléctricas asociadas con los movimientos de los electrones, entre otras causas, se pueden considerar pequeños imanes con determinado momento magnético.
3. Se podrá definir una magnitud vectorial, función de cada punto en el seno de una sustancia dada, que resuma, en cada punto, cuál es la resultante de todos los momentos magnéticos de esas unidades estructurales por unidad de volumen. Esa magnitud debe indicar cuánto se ha magnetizado una sustancia dada.
4. Si existen las llamadas corrientes moleculares o de Ampere, entonces no es posible conocer la intensidad de la corriente neta ensartada en un contorno cerrado de integración, para aplicando la ley de Ampere – Maxwell calcular el módulo de la inducción magnética hasta que no se conociera esa propia inducción magnética y se pueda calcular la magnetización del material.

2.9.2 Clasificación de las sustancias desde el punto de vista magnético. Fenómeno de magnetización

Las distintas sustancias están compuestas de determinadas unidades estructurales, que en muchos de los casos son las propias moléculas, y estas unidades tienen un determinado momento magnético m asociado. Estos momentos magnéticos se pueden explicar aduciendo que los movimientos de los electrones en los orbitales de la molécula se pueden considerar como corrientes eléctricas en lazos cerrados y además, y esto es un fenómeno netamente cuántico, los electrones, y otras partículas que conforman la estructura interna de las unidades estructurales de las sustancias, tienen momento de espín y producto de esto un momento magnético intrínseco.

Si dentro de un cuerpo de determinada sustancia se toma un elemento infinitesimal de volumen DV y se calcula la resultante de todos los momentos magnéticos de las unidades estructurales, que adelante llamaremos moléculas, contenidas en ese elemento de volumen, en el límite cuando ese elemento de volumen tienda a cero se tendrá la magnitud, que es un campo vectorial que toma valores en todos los puntos del cuerpo conformado por esa sustancia, y que se denomina Magnetización de la sustancia y que representamos por M(r), así:

Pero debe tomarse en cuenta que este limite tiene características físicas pues el elemento de volumen debe ser tan pequeño como para poder asignar un vector M a cada punto del cuerpo y sea entonces M una función de punto y por otra parte ese elemento de volumen debe ser los suficientemente grande como para que contenga una gran cantidad de moléculas y no se pierda en enfoque macroscópico que presenta el electromagnetismo clásico.

En el SI en módulo de este vector magnetización se mide en A/m².

El comportamiento de las distintas sustancias ante la acción del campo magnético se puede caracterizar fenomenológicamente como sigue:

2.9.3 Diamagnetismo y paramagnetismo. Vectores magnetización e intensidad del campo magnético. Ley de Ampere - Maxwell en términos del vector intensidad del campo magnético

Definamos un nuevo campo vectorial para caracterizar el campo magnético y que llamaremos Intensidad del Campo Magnético y lo haremos mediante la llamada Segunda relación de Constitución, tal que:

Como se aprecia también el módulo de este vector se mide en el SI en A/m².

Cuando un cuerpo constituido de determinada sustancia se somete a la acción de un campo magnético externo el campo vectorial Magnetización, en cada punto del cuerpo dependerá del valor del vector Intensidad del Campo Magnético en ese punto mediante la relación:

donde c_m es la susceptibilidad magnética que es una magnitud adimensional y que en general es función del H y que depende del tipo de material. En general se trata de una magnitud para la que deben darse 9 números ordenados para tener toda la información necesaria.

Llamaremos materiales homogéneos, isótropos y lineales a aquellos en que la susceptibilidad es viene expresado por un solo número y además no dependería de H.

Para este tipo de materiales, que más adelante veremos que se trata solo de los diamagnéticos y los paramagnéticos, se tiene entonces que:

donde m_r y m son las constantes magnéticas relativas (adimensional) y absoluta (con dimensiones y que en el SI se mide en H/m) respectivamente.

Veamos la relación entre el vector Magnetización y la cantidad de corrientes moleculares o de Ampere.

Si se tiene, como en la figura,

un elemento de contorno de integración dl y sean los lazos de las corrientes de Ampere de intensidad i'_m y sea el área del lazo de esas corrientes designadas por A_m, entonces sea N la cantidad de unidades estructurales por unidad de volumen en el seno del material dado. Así se tiene que la corriente neta ensartada en ese elemento infinitesimal de contorno de integración sería:

donde el campo vectorial M es la magnetización del medio.

De lo que se ha demostrado, si se tiene que al aplicar la ley de Ampere – Maxwell nos quedaría:

donde i_{neta-ensartada} es la intensidad de la corriente que implica el movimiento real de portadores de carga, pero que no toma en cuenta las contribuciones de las corrientes ampereanas.

Esto implica que:

de modo que ordenado se tiene:

En esta ecuación i_{neta-ensartada} es la intensidad de la corriente neta ensartada debido al movimiento de portadores de cargas en distancias que superan los lazos moleculares y i'_{neta-ensartada} es la intensidad de las corrientes moleculares netas ensartadas. Además el vector J es la densidad de corriente neta ensartada en el contorno C debida al movimiento de portadores de cargas en distancias que superan los lazo moleculares.

Aplicando el teorema de Stokes y el del valor medio del cálculo integral y gracias a la arbitrariedad del contorno de integración se obtiene la forma diferencial de la expresión matemática de esta ley para el caso general que estén presentes medios sustanciales, de tal suerte que:

donde el vector J es la densidad de corriente que circula por el material sin tomar en cuenta las corrientes de Ampere.

Esta es la expresión diferencial de la Ley de Ampere-Maxwell en términos del campo vectorial Intensidad del Campo Magnético.

Desde el punto de vista de los valores y tipo de comportamiento de la constante magnética de los distintos tipos de sustancias ante el magnetismo se tiene que para las sustancias diamagnéticas esa magnitud es casi igual en valor a la constante magnética del vacío, pero algo menor, (esto indica que la susceptibilidad magnética es próxima a cero, pero algo menor). Realicemos un estudio, clásico, del diamagnetismo.

El electrón en una determinada órbita en el átomo, tal como se muestra en la figura:

Este movimiento se puede considerar como una corriente eléctrica de intensidad:

donde t y w son el periodo y la frecuencia angular de las rotaciones que realiza el electrón en su órbita. Supongamos, para facilitar el análisis que la órbita electrónica es de radio R y que al accionar el campo magnético pueden producirse cambios en la frecuencia angular del electrón, pero el radio de la órbita permanecerá constante. Entonces se tiene que el electrón en su órbita tiene asociado un momento magnético dado por:

donde k es un vector unitario perpendicular al plano de la órbita del electrón.

También por simplicidad consideremos que se va a instaurar un campo magnético cuyo vector Inducción Magnética tiene un módulo que crece en valor desde cero hasta el valor B₀. Además su dirección es perpendicular al plano de la órbita electrónica que estamos analizando. Producto de la variación local temporal de campo vectorial Inducción Magnética, en los puntos sobre la órbita aparece un campo eléctrico no conservativo según establece la Ley de Inducción Electromagnética de Faraday.

Así:

Y como la trayectoria del electrón la suponemos circular e integrando:

que implica que:

Provocada por este campo eléctrico inducido, aparece una fuerza eléctrica sobre electrón que será tangente a la trayectoria y que provocará a su vez una aceleración cuyo escalar viene dado por:

donde m_0e es la masa en reposo del electrón y a la última igualdad se establece gracias a la relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular para una partícula animada de movimiento circular acelerado.

Así se llega a:

que en términos de los diferenciales queda:

Ahora integrado desde el valor o hasta B₀ se tiene:

donde w_L es la llamada Frecuencia de Larmor.

Al producirse este aumento en la frecuencia angular del electrón en su órbita se tiene que se produce una variación en el escalar asociado con el vector momento magnético de la órbita del electrón, tal que:

Estos resultados a pesar de que fueron obtenidos para las condiciones que se impusieron, son de carácter general y válido aún cuando no se cumplan esas restricciones.

De esto se tiene que al irse instaurando un campo magnético cuyo vector Inducción Magnética tenga un módulo que aumente desde cero hasta un determinado valor aparecerá un momento magnético inducido en cada órbita electrónica que será opuesto en dirección al vector Inducción Magnética. Debido a esta oposición en sentido es que aparece el hecho de que aparezca una fuerza repulsiva sobre los cuerpos constituidos por sustancias diamagnéticas cuando se acercan a entidades con campos magnéticos asociados o cuando en la región donde se encuentran esos cuerpos se instaura un campo magnético de tal forma que su Inducción Magnética vaya creciendo en módulo.

En última instancia esta repulsión se debe a la negatividad de la carga del electrón. Si un campo magnético interactuara con un átomo de antimateria, es decir, con un átomo compuesto por un núcleo de antiprotones y antineutrones y con la envoltura compuesta por positrones (antielectrones), el antidiamagnétismo fuera tal que aparecería una fuerza atractiva sobre los cuerpos compuestos de tales sustancias.

Por otra parte el hecho de la poca intensidad de las fuerzas de repulsión que surgen en el comportamiento diamagnético se explica por la pequeñez del coeficiente que relaciona al memento magnético inducido y a la Inducción Magnética.

Como todos las sustancias tienen electrones en sus correspondientes átomos, todas las sustancias tienen un cierto comportamiento diamagnético. Pero si ocurren otros efectos que puedan hacer que el diamagnetismo no se pueda manifestar como comportamiento principal la sustancia deja de clasificarse dentro de las que tienen un comportamiento diamagnético. Tales son los casos de las sustancias paramagnéticas, ferromagnéticas y las ferrimagnéticas.

Para el caso de las sustancias paramagnéticas se tiene que las unidades estructurales que los componen, átomos o moléculas, son de tal tipo que tienen un momento magnético permanente. Estos dipolos magnéticos interactúan muy débilmente entre sí o no interactúan. Al colocar un cuerpo compuesto por una de estas sustancias en una región donde esté instaurado un campo magnético se producen dos efectos contrarios:

Por otra parte al tomar en cuenta el estudio del primero de los dos efectos deben considerarse dos aspectos de primer orden:

2.9.4 Ferromagnetismo. Teoría de los dominios e histéresis magnética. Efecto Hall

Analicemos los casos de las sustancias ferromagnéticas (Fe, Ni, Co).

El comportamiento de estos materiales se explica con auxilio de la teoría de los dominios magnéticos. Un dominio magnético es una región dentro del sólido en el todos los momentos magnéticos de las correspondientes unidades estructurales están orientados de forma que todos ellos son paralelos. Desde el punto de vista energético esta organización de los dipolos magnéticos requiere de un análisis de pues ha de haber mecanismos que se contrapongan para lograrse los estados de mínima energía con la consiguiente estabilidad en los sistemas. En el caso del ferromagnetismo se debe considerar el hecho de que las propiedades magnéticas de los elementos de transición, tales como el hierro, en última instancia se deben en los momentos magnéticos asociados con las órbitas electrónicas y al espín de esos electrones de las capas electrónicas internas que no están llenas.

Una primera contribución a la energía es la energía de magnetostática y que es aquella vinculadas con el hecho dado por que sí dos un dominio de una determinada extensión se dividiera en dos partes de suerte que en una de ella el vector magnetización tenga un sentido y en la otro el sentido opuesto, se tendría una energía menor que cuando toda esa extensión se tendría un solo sentido para el vector magnetización. Esto significa que en general la tendencia debía ser a que los dominios fueran de la menor extensión posible y de esta forma que esta energía magnetostática. Pero debe tomarse en cuenta que la propia aparición de las fronteras entre los dominios contribuye al aumento de la energía del sistema debido a la energía adicional que aparece para conformar los cambios necesarios para pasar de un estado de orientación de vector magnetización.

Por otra parte se tiene el carácter de las anisotropías del sólido cristalino. Por ejemplo en el caso del hierro que tiene una estructura cristalina cúbica se sabe que es más fácil que se produzca la magnetización en las direcciones de las aristas de los cubos, luego, en menor grado de facilidad en las direcciones de las diagonales de la caras de los cubos y por último la de mayor grado de dificultad es la dirección de la diagonal de los cubos. De ahí que los cambios de la magnetización estén más favorecidos en determinadas direcciones que en otras y esto explica, entre otras cosas, que en las fronteras de los dominios, y dentro de la misma cristalita, los cambios más favorecidos energéticamente los cambios en 90º de ese vector. Una distribución de los dominios, que se logra "visualizar" por la técnica de colocar óxido de hierro coloidal sobre una superficie preparada de una muestra magnetizada de un material ferromagnética, se representa esquemáticamente en la figura:

donde los dominios pequeños y en forma triangular en este corte se llaman dominios de cierre y completan la situación para que la magnetización total sea nula en el caso inicial de una muestra ferromagnética virgen.

Otro elemento a tener en cuenta en la contribución de la llamada energía de intercambio y que tiene un origen cuántico. La explicación de ese mecanismo puede ser, de forma simplificada, como sigue: como por ejemplo en el caso del hierro se tiene que existen seis electrones en una capa interior no llenada. Estos electrones tienen espines de orientaciones tales que los correspondientes momentos magnéticos asociados estarán unos orientados en un sentido, digamos "hacia abajo", y otros en el sentido contrario, "hacia arriba". Ellos, en concordancia con el Principio de Exclusión de Pauli, se disponen en parejas en el mismo nivel de energía llenando los niveles más bajos en la correspondiente banda. Al interactuar con un campo magnético externo algunos de los electrones que tienen un momento magnético orientados de forma que son contrarios a ese campo externo pueden pasar a niveles superiores cambiando la orientación de su momento magnético intrínseco y esto se puede producir hasta que no queden niveles disponibles en la banda. A pesar de lo que significa en aumento de energía al ascender en la banda de energía, este estado sería menos energético que si se mantuvieran en los niveles más bajos, pero con la orientación inadecuada con respecto al campo magnético. La diferencia entre las energías de estas dos configuraciones se le llama energía de intercambio. Este mecanismo tiene a disminuir la energía en la medida que se hace más extensa la región de cada dominio al tener más átomos esa distribución de los momentos magnéticos intrínsecos.

Esta situación se representa en la figura que sigue:

Otra contribución a la energía es la producida que debe tomarse es la debido a la magnetoestricción que consiste en surgimiento baja la acción del campo magnético externo de tensiones internas capaces de deformar la muestra. En particular en caso del hierro estas tensiones son tales que las muestra se alargan en la dirección del vector magnetización.

Cuando se toma un cuerpo de un material ferromagnético virgen en el sentido que no tenga historia anterior en las interacciones con el campo magnético o se haya producido un proceso con el cual esa historia anterior se haya "borrado" (tales procesos serían el aumento de la temperatura o recibir energía mediante acciones mecánica, como por ejemplo golpes), se coloca bajo la acción un campo magnético caracterizado por el vector Intensidad del Campo Magnético H y el módulo de este vector se va aumentando paulatinamente se tiene que al medir el vector Magnetización en el interior del cuerpo se obtiene la siguiente gráfica:

Al analizar las distintas partes de esta curva esemoidal se tiene que desde el punto o al punto a todos los procesos son reversibles y el aumento de la magnetización se logra a expensas de los desplazamientos reversibles de las fronteras de los dominios a favor del aumento de la extensión de los dominios mejor orientados con respecto al campo aplicado. Luego desde el punto a hasta el punto b el aumento de la magnetización se produce a partir de los desplazamientos irreversibles de las fronteras de los dominios a favor de esos dominios mejor orientados. Como estos son procesos irreversibles, al irse disminuyendo el valor del módulo de la Intensidad del Campo Magnético, la magnetización del material no desciende por la misma curva en la gráfica, lo que provoca que exista como una "memoria del material" recordando su interacción anterior con el campo magnético. Y desde b en adelante el aumento de la magnetización ya el mecanismo de la traslación de las fronteras se ha agotado pues entrañaría muy grandes cantidades de energía y entonces se produce la rotación de algunos dominios bajo la acción del campo magnético. Estos procesos son también irreversibles y además tienden a la saturación en el sentido que no todos los dominios podrán ser rotados. Pero debe indicarse que este proceso de aumento de la magnetización tiene dos etapas ya que primero se produce la rotación que involucra las direcciones cristalográficas más favorecidas para la magnetización y luego al ir alcanzando la saturación, se producen las rotaciones que involucran a las direcciones cristalográficas menos favorecidas.

Si después de alcanzan la saturación se comienza a disminuir el módulo del vector H hasta el valor cero, la magnetización no se reduce siguiendo esta curva e incluso al llegar a cero el módulo de H quedará una cierta magnetización permanente o remanente M_R. Si ahora se aumenta el módulo de H, pero de tal manera que el vector apunte en el sentido contrario a como lo hacía al inicio, se tendrá una disminución de la magnetización por debajo de la magnetización permanente M_R y será necesario llevar el módulo de H hasta el valor H_c, llamado fuerza coercitiva, para poder reducir a cero el módulo del vector magnetización. Al continuar cíclicamente cambiando el sentido del vector H se completa el llamado ciclo de histéresis magnética. Este ciclo permite explicar el procedimiento para la fabricación de los imanes permanentes.

Efecto Hall

Si se considera la interacción del los electrones libres de un metal bajo la acción de un campo magnético externo aplicado se puede plantear la ecuación:

que es válida en general para el movimiento de un electrón libre. En esta ecuación el primer sumando del miembro de la izquierda  está relacionado con la aceleración del electrón libre bajo la acción del campo electromagnético aplicado y el segundo sumando da cuenta de la "fricción" debido a las colisiones con los defectos de la red cristalina, siendo t el tiempo medio entre colisiones.

Consideremos que el campo magnético es uniforme con valor B.

Si se puede tomar:

la ecuación del movimiento quedaría como:

donde se ha sustituido la velocidad por dv, que se puede tomar como el valor medio de la velocidad del electrón sobre la esfera de Fermi.

Sí ahora consideramos que B es paralelo al eje de la z. Para cuando se puede considerar que el tiempo medio entre colisiones es muy grande y para el caso en que E sea nulo, se tiene:

y

cuyas soluciones son:

y

donde es la denominada frecuencia angular ciclotrónica para el electrón libre y cumple que:

Ahora se puede analizar que la condición para que aparezca una resonancia bien definida es que el producto de la frecuencia ciclotrónica por el tiempo promedio entre colisiones sea mayor que la unidad.

En las soluciones anteriores la amplitud de las oscilaciones temporales que tienen las componentes de la velocidad en la superficie de Fermi, no es la rapidez de Fermi, sino una magnitud que es un valor inicial cualquiera de la rapidez de arrastre en el mar de Fermi.

En la medida que al temperatura del material sube el tiempo promedio entre las colisiones disminuye y con ello la condición de resonancia se va perdiendo de forma que los electrones libres no podrán completar muchas vueltas, por ejemplo a la temperatura ambiente. Pero para temperaturas bajas cercanas a las de ebullición del helio líquido se pueden completar una gran cantidad de órbitas ciclotrónicas.

Veamos ahora el caso en que B sigue siendo paralelo al eje de las z, pero ahora E no es nulo.

En este caso las ecuaciones del movimiento del electrón por componentes serán:

Y bajo las condiciones estacionarias en un campo eléctrico estático se tiene que las sumandos que involucran las derivadas temporales no aparecen y nos queda:

de modo que resolviendo las dos primeras ecuaciones para las componentes en x y en y de dv se llega a:

que se completa con la ecuación:

Recordando la relación entre la densidad de corriente eléctrica y la velocidad de los electrones:

y definiendo la magnitud:

se llega a las ecuaciones por componentes de la densidad de corriente eléctrica:

De esta forma obtenemos las nueve componentes del tensor de segundo orden que representa la conductividad en presencia de un campo magnético estacionario y dirigido en la dirección. Las componentes que no se escriben directamente en estas ecuaciones son nulas.

En una representación tensorial se tiene:

con el tensor de la conductividad dado por:

Como se aprecia de estas ecuaciones el fenómeno del transporte de portadores de carga en la dirección de la inducción magnética, no se afecta y todo ocurre como si el campo magnético no estuviera aplicado.

Para las componentes diagonales del tensor de la conductividad son tales que ellas decrecen monótonamente al incrementarse la inducción magnética del campo magnético aplicado o con el aumento de la frecuencia ciclotrónica. Entre tanto las componentes no diagonales de este tensor que no son nulas, primero aumentan al aumentar el módulo de la inducción magnética del campo magnético aplicado, pero si este sigue aumentando, estas componentes decrecen.

Como se aprecia las conductividad de un cuerpo que esté colocado en unas zona donde esté instaurado un campo magnética dependerá de la geometría del cuerpo.

Si se dispone una barra recta de sección rectangular de material conductor y de forma tal que su dimensión más larga esté a lo largo del eje de las x y que está aplicado un campo magnético externo uniforme y constante y cuya inducción magnética es paralela al eje de las z y un campo electrostático uniforme cuya intensidad es paralelo al eje de las x.

Si no se permite que los portadores de carga pasen a través de las caras de la muestra que son paralelas al plano coordenado xz, esto hace que la componente de la densidad de corriente a lo largo del eje de las y sea nula.

De las ecuaciones anteriores se entiende que solo esto es posible si aparece un campo electrostático cuya intensidad sea paralela al eje de las y. Y así:

La aparición de esta campo lateral se conoce como el efecto Hall.

Definamos la magnitud:

a la que se denomina Constantes de Hall y que es negativa para los electrones libres.

Como esta constante es fácil de medir experimentalmente directamente de su definición, ella permite una sencilla forma de medir la concentración de portadores de carga n.

A estos resultados sencillos se ha llegado asumiendo que el tiempo promedio entre una colisión y otra es independiente de la rapidez de los electrones. En caso que se tome en cuenta la dependencia de este tiempo con la rapidez de los electrones, entonces la constante anterior estará afectada por un factor del orden de la unidad.

En los casos de los semiconductores la expresión anterior se hace más complicada debido a que tanto los electrones como los huecos contribuyen en a la densidad de corriente eléctrica.

2.10 Ondas electromagnéticas

Introducción

Desde los inicios de la humanidad los fenómenos luminosos se convirtieron en una de las principales indagatorias del pensamiento humano.

Muchas fueron las teorías que trataron de explicar estos fenómenos, desde las ideas místicas hasta ideas con un basamento más cercano a la ciencia.

Pero no fue hasta el desarrollo por Maxwell sobre la Teoría Electromagnética de la Luz que estas teorías no se sustentaron sobre bases verdaderamente científicas.

Es por tanto de gran interés adentrarse en los elementos de esta teoría para permitir el ulterior estudio de la Óptica Ondulatoria y de las principales aplicaciones de las ondas electromagnéticas en las Telecomunicaciones.

2.10.1 Discusión inicial

Se discutirán las siguientes afirmaciones:

1. No es necesario hacer cambio alguno a las ecuaciones de Maxwell que tenemos para el vacío, al plantearlas para los casos con presencia de medios.
2. En la función de onda para las ondas electromagnéticas viajeras planas y monocromáticas los parámetros fundamentales son la amplitud de las oscilaciones del campo vectorial intensidad del campo eléctrico; la frecuencia angular de las oscilaciones y la longitud de onda en el medio dado.
3. Las ondas electromagnéticas se propagan de forma distinta en los distintos tipos de medios atendiendo a la naturaleza del medio en cuestión y si se tratara del vacío, de un dieléctrico o de un metal.

2.10.2 Sistema de ecuaciones de Maxwell en forma diferencia con la presencia de medios sustanciales y en el vacío. Ecuación diferencial de la onda. Onda electromagnética plana. Parámetros de la onda

2.10.3 Propagación de ondas electromagnéticas en el vacío, conductores y dieléctricos

Se volvemos a escribir las ecuaciones de Maxwell en las formas diferenciales para el caso de que se tenga la existencia de un dieléctrico homogéneo, isótropo y lineal, tendríamos:

Y repitiendo el proceso anterior se tiene que:

con

donde n es igual a la raíz cuadrada del producto de la constante eléctrica relativa y la constante magnética del medio dado y se denomina índice de refracción absoluto (relativo al vacío) o simplemente índice de refracción del medio.

Nótese que como la rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío es mayor que esta rapidez en un medio dado, el índice de refracción de cualquier medio es mayor o igual que la unidad.

Nótese que como para los materiales diamagnéticos o paramagnéticos la constante magnética es casi igual a la unidad, el índice de refracción, que nos indica cual más veloz se propaga la onda electromagnética en el vacío que en el medio dado, prácticamente solo depende de las propiedades eléctricas del material.

Para el caso de la onda plana propagándose en un medio dieléctrico la rapidez de fase mantiene la mismo dependencia con respecto la frecuencia angular y el número de onda, pero debe tomarse en cuenta que aunque la frecuencia angular no depende del tipo de medio donde se propagan las ondas, el número de onda si va a depender del medio. Se tiene que:

Para el caso de la propagación en medios conductores debemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial como sigue:

Al aplicar el rotacional a la tercera de estas ecuaciones  y luego utilizar las otras ecuaciones se llega a:

Para el caso de las ondas planas que se propagan en la dirección del eje de las X, se tiene que la solución para esta ecuación es de la forma:

Siendo a y b dos parámetros que dependen de la frecuencia angular de la onda y de las propiedades eléctricas, magnéticas y de conducción de la corriente eléctrica del medio dado. Como b es siempre positiva, el factor dado por la exponencial de exponente real será siempre un factor de atenuación.

En caso en que la frecuencia angular esté por debajo del rango óptico (parte del espectro electromagnético correspondiente a la luz visible (entre 4×10^-7 y 7×10^-7 m, lo que se corresponde con frecuencias angulares entre 2,69 y 4,71 Prad/s) se puede hacer una aproximación en la expresión para el cálculo de la magnitud b, tal que:

Este coeficiente de atenuación se puede interpretar como el inverso de la distancia en que puede penetrar la onda electromagnética en medio conductor antes de que la amplitud de la misma se reduzca en e (base los logaritmos naturales) veces. Por esta razón al inverso b se le llama profundidad del efecto "skin" (d).

Por ejemplo para el caso de la plata la conductividad eléctrica es del orden de 3×10⁷ S/m y para ondas de frecuencia angular de 2p×10¹⁰ rad/s, que es un valor normal para las microondas, la profundidad del efecto skin es de 9.2×10^-5 cm.

2.10.4. Modelo ondulatorio electromagnético de la luz

Para completar el modelo ondulatorio electromagnético de la luz, que se convierte así en la Teoría Electromagnética de la Luz, deben entre otras acciones realizarse las siguientes:

El estudio de algunas de estos aspectos lo realizaremos en el resto del semestre, en particular lo que se da en llamar la Óptica Ondulatoria.

En esta ocasión culminaremos nuestro estudio con el análisis energética de las ondas electromagnéticas, en particular para el caso de las ondas viajeras.

En otras partes del curso hemos establecido que en cada punto de una región donde esté instaurado un campo electromagnético se tendrá una densidad volumétrica de energía potencial almacenada en el campo que viene dada por la expresión:

Entonces cuando una onda electromagnética avanza en el vacío o en medio dado transportará una energía.

Si tomamos la ecuación de Maxwell que contienen el operador rotacional, tercera y cuarta en la relación dada anteriormente, y realizamos el producto escalar por el campo que al que no se le está aplicando el rotacional y luego restamos obtenemos:

y

Restando la primera de estas ecuaciones a la primera se tiene:

donde se ha utilizado la equivalencia para la divergencia de un producto vectorial y además se ha aprovechado las relaciones entre los vectores D y E, por un lado y H y B por otro (para esto solo se requiere que en los casos más complejos los elementos de los tensores que están involucrados en estas relaciones no dependan del tiempo).

Si ahora se integra para un volumen V dado y constante en el tiempo y que está limitado por la superficie cerrada S y se aplica el teorema de la divergencia se tiene que:

donde se ha aprovechado el hecho de que el volumen por el que se integra es constante en el tiempo para pasar de la derivada temporal parcial del integrando, en la primera integral del miembro del derecha, por la derivada total temporal de la integral de volumen sin derivar el integrando, que es la densidad de energía del campo electromagnético.

En la interpretación de este resultado se tiene que el miembro de la izquierda significa la energía transferida hacia el campo electromagnético a través del movimiento de portadores de carga (recuérdese que la densidad de corriente es proporcional a la velocidad con que se desplazan esos portadores). Cuando en el sólido de volumen V no existen fuentes de fem, entonces este miembro es intrínsecamente negativo y es igual a la energía por unidad de tiempo (potencia) disipada por efecto Joule – Lenz. Este miembro, sin embargo puede ser positivo cuando existen otros mecanismos, no electromagnéticos que le entreguen energía al campo electromagnético. En cuanto a los dos sumandos del miembro de la derecha, la integral de volumen indica como cambia en el tiempo la energía almacenada en el campo electromagnético en el volumen V y la integral de superficie significa la energía electromagnética que atraviesa la superficie cerrada que limita el volumen. Esta energía atraviesa esta superficie transportada por el propio campo electromagnético y una de esas formas es con las ondas electromagnéticas.

El vector S = E ´ H es llamado vector de Umov – Poynting y su módulo tiene las dimensiones de energía por unidad de superficie perpendicular a la dirección en que se transporta la energía y por unidad de tiempo. En el SI se mide en W/m². La dirección y el sentido de este vector, en el caso de las ondas electromagnéticas, son la dirección y el sentido de propagación de la onda electromagnética.

La ecuación anterior por tanto es una expresión de la Ley de Conservación y Transformación de la Energía para un volumen fijo.

2.10.5 Conclusiones

Con esto elementos sobre la Teoría Electromagnética de la Luz se puede emprender el estudio de los casos más complejos con diversos medios y con las más variadas condiciones de fronteras y abordar los fenómenos de emisión, transmisión y recepción de las ondas electromagnéticas que tienen información codificada, digitalizada o no, y de amplio uso en las Telecomunicaciones y en la Informática.

2.11 Luz polarizada y superposición de luz polarizada

Introducción

2.11.1 Discusión inicial

Se discutirán las siguientes afirmaciones:

1. La luz puede polarizarse a pesar de ser ondas longitudinales.
2. El estado de la luz natural es el llamado de "luz no polarizada".
3. Si el vector óptico oscila en siempre en el mismo plano estamos en presencia de luz linealmente polarizada.
4. La luz elípticamente polarizada se caracteriza porque el vector óptico tiene una probabilidad, en cada instante, igual a uno de ser hallado en un plano dado, de los infinitos que contienen la dirección de propagación del rayo, y cero en todo los demás y un instante después la probabilidad de ser hallado en ese plano es cero, uno en otro plano rotado y además el módulo del vector óptico va cambiando a medida que rota el plano de oscilación del vector óptico de forma que la proyección del extremo del vector óptico sobre un plano frontal a la dirección de propagación de la onda.

1. Fenómeno de polarización de la luz. Polarización por reflexión y refracción. Ley de Brewster

Son varios los tipos de fenómenos en los que participa la luz donde se manifiesta su carácter de onda electromagnética. A la parte de la Física que estudia este tipo de fenómenos se le llama Óptica Ondulatoria.

Un grupo de estos fenómenos se engloban para su estudio bajo el nombre de polarización de la luz.

Como la luz es una electromagnética transversal esta puede ser polarizada. Esto se refiere a que como el plano de oscilación del vector óptico contiene la dirección de propagación y existen infinitos de estos planos de modo que la diferenciación de alguno de estos planos establece determinado tipo de polarización de la luz.

Los estados de polarización de la luz son los siguientes:

En muchos textos se le llama luz natural a la no polarizada, pero esto no es tan real. En realidad la luz natural es parcialmente polarizada pues sufre reflexiones y como veremos más tarde la luz reflejada es parcialmente polarizada e incluso linealmente polarizada, o por los átomos como fuentes de luz que emiten luz polarizada (como en una fuente extensa de luz emiten muchos átomos la luz que emite este tipo de fuente es luz parcialmente polarizada).

Nótese que la luz parcialmente polarizada en el límite cuando el valor mínimo del módulo del vector E va tendiendo a cero.

Veamos ahora una de las formas en que se puede obtener luz lineal y parcialmente polarizada.

De la aplicación de las llamadas Fórmulas de Fresnel; que obtenidas a partir de las condiciones de frontera en un dióptrico para los campos vectoriales D, E, B y H relacionan las amplitudes de las oscilaciones de estos campos en los estados de polarización de las ondas incidente, reflejada y transmitidas en dióptrico, estados de polarización que serían: uno con las oscilaciones de E perpendiculares al plano de incidencia y el otro con las oscilaciones de E contenidas en el plano de incidencia; se llega, entre otros resultados, al contenido de la llamada Ley de Brewster que permite explicar el estado de polarización de las ondas reflejadas y transmitidas en un dióptrico. Esta ley expresa que si a un dióptrico llega luz no polarizada con un ángulo de incidencia igual al ángulo de Brewster o ángulo de polarización total, dado por q _1p=tan^-1(n₂/n₁), donde n₂ es el índice de refracción del medio hacia el cual se refracta la luz y n₁ es el índice de refracción del medio desde el cual incide la luz sobre el dióptrico (al cociente de ambos índices se le llama índice de refracción relativo del medio 2 con respecto al medio 1), entonces la luz reflejada está linealmente polarizada de tal forma que el vector eléctrico oscila en un plano perpendicular al plano de incidencia. En tanto en el rayo reflejado esta componente es la única presente, en el rayo refractado estarán presente esta componente, pero disminuida, y la componente en la que el vector óptico oscila en el propio plano de incidencia y por esto la luz transmitida estará parcialmente polarizada con el plano en el cual se obtiene el máximo en el valor de la amplitud de las oscilaciones de E paralelo al plano de incidencia. Cuando se va variando el ángulo de incidencia y nos vamos alejando del valor arriba indicado, tanto por encima como por debajo de este valor, la luz reflejada se va convirtiendo de luz linealmente polarizada en luz parcialmente polarizada con el plano en el cual se obtiene el máximo en el valor de la amplitud de las oscilaciones de E perpendicular al plano de incidencia, en tanto la luz refractada será cada vez menos parcialmente polarizada y se acercará ser luz no polarizada (a este estado solo llega cuando la incidencia es de 0º).

Así la aplicación de esta ley permite obtener luz linealmente polarizada por reflexión, para lo que solo hay que hacer coincidir el ángulo de incidencia con el ángulo de polarización total, y por refracción, para lo que se debe hacer es disponer una pila de láminas planoparalelas y paralelas entre sí para ir aumentando la componente de luz planopolarizada tal que su vector E vibre en un plano paralelo al plano de incidencia.

2.11.3 Birrefringencia y dicroismo. Ley de Malus

Existen determinados materiales en los cuales al incidir la luz se producen dos rayos refractados y este fenómeno se denomina birrefringencia o doble refracción. En esencia este fenómeno se debe a las anisotropías del material. Esto significa que cuando ocurre que la rapidez de propagación de la luz en el interior del material dado depende del plano en el que oscila el vector óptico se tiene un material birrefringente y producto de esto el índice de refracción que presenta el medio birrefringente para un rayo en cuestión dependerá del estado de polarización de la luz y más concretamente del plano en que oscile su vector E y así en general se formarán dos rayos refractados: uno, llamado rayo ordinario, y el otro, rayo extraordinario.

Se le llama eje óptico a la dirección (y todas las direcciones paralelas a ella) en el interior del material birrefringente y que está sólidamente ligada a él, en la cual todos los rayos de luz tendrían la misma rapidez de propagación con independencia de cual sea el plano en el que vibra el vector óptico.

Unos tipos de materiales birrefringentes tienen un solo eje óptico y se les llaman cristales uniáxicos y otros tiene dos ejes ópticos que en general forman un ángulo determinado para cada tipo de estos materiales a los cuales se les llama cristales biáxicos. En nuestro estudio nos ocuparemos de los cristales uniáxicos.

Se llama sección principal o plano principal del cristal para un rayo (por ejemplo para el rayo ordinario o para el rayo extraordinario) al plano que estando fijo al cristal contiene a la dirección del rayo del que se trate en el interior del cristal y al eje óptico del cristal. En general la sección principal para los rayos ordinario y extraordinario no son paralelas.

Se tiene que el estado de polarización de los rayos ordinarios y extraordinarios en el seno de un material birrefringente es siempre linealmente polarizado y que el plano de oscilación del vector óptico en el rayo ordinario es siempre un plano perpendicular a la sección principal del cristal para ese rayo, en tanto para el rayo extraordinario su vector E oscila siempre en un plano paralelo a la sección principal del cristal para ese plano.

Por otra parte se tiene que para el rayo ordinario el material se comporta como si fuera isótropo, esto es, la rapidez de propagación del rayo ordinario en el seno del cristal birrefringente es constante y no depende de la dirección de propagación del raro, lo que hace que el índice de refracción del medio para este rayo, n_o, sea constante y eso significa que al refractarse el rayo que en el seno del material se corresponde con el rayo ordinario siempre se cumple la ley de la refracción y de ahí el nombre de ordinario de este rayo. Por esta razón las superficies de onda a partir de una fuente puntual de luz en el interior del cristal birrefringente para estos rayos serán esferas concéntricas con el punto de emisión. Mientras para el rayo extraordinario la rapidez de propagación dependerá de la dirección de propagación del mismo y por ello el índice de refracción del cristal para este rayo, n_e, no es constante. Estos rayos extraordinarios no satisfacen en general la ley de la refracción. Además las superficies de onda de los rayos extraordinarios en el seno de un material birrefringente se corresponden con la superficie de un elipsoide de revolución en el caso de los cristales uniáxicos cuyo eje de simetría en paralelo al eje óptico del cristal que pasa por el punto de emisión. Así cuando la dirección de propagación del rayo extraordinario es la dirección del eje óptico ocurrirá el máximo o un mínimo en el valor de la rapidez de propagación (o un mínimo o un máximo del índice de refracción n_e); en el primer caso se les llama a los cristales negativos y en el segundo, positivos.

Se llama coeficiente de birrefringencia o índice de birrefringencia o birrefringencia a la diferencia n_{e extermo} – n_o. Nótese que este coeficiente es positivo para los cristales positivos y negativo para los cristales negativos. (Como el índice de refracción de una sustancia depende de la longitud de onda, los valores que habitualmente se reportan son para el doble del sodio (589 y 589,6 nm)).

Ahora se podrían buscar formas alternativas de definir el eje óptico de un cristal birrefringente uniáxico. El eje óptico será la dirección en el cristal en la cual los índices de refracción del cristal para ambos rayos y las rapideces de propagación de ambos rayos serán iguales. El eje óptico de un cristal birrefringente uniáxico será la dirección en que las superficies de onda de las ondas ordinarias y extraordinarias emitidas a partir de una misma fuente puntual en el seno del cristal, son tangentes y además se constituye en eje de rotación del elipsoide de revolución cuya superficie representa a una superficie de onda de la onda extraordinaria.

El Principio de Huygens permite dibujar las superficies de las ondas ordinarias y extraordinarias de los rayos refractados al incidir luz no polarizada sobre un cristal birrefringente, siempre que se conozca la dirección de su eje óptico y sí el cristal es positivo o negativo. Este principio dice que cada punto de una superficie de onda es un emisor de ondas secundarias y que la nueva superficie de la onda es la envolvente a todas las superficies de ondas secundarias en un instante dado. Además el rayo o dirección de propagación de esta onda será la recta orientada que partiendo del punto de emisión llega a punto de tangencia entre la superficie de la onda secundaria correspondiente y la superficie de la onda principal construida como la envolvente de todas las superficies de las ondas secundarias.

Veamos un ejemplo:

Dentro de la clasificación de los materiales birrefringentes se encuentran los llamados materiales dicroicos en los cuales además de estar presente la propiedad de ser birrefringentes ocurre que el material absorbe de forma muy distintas a los rayos ordinario y extraordinario, siendo muy fuertemente absorbido uno de ellos en tanto para el otro la absorción es casi despreciable. Esta propiedad de se debe a la conjunción de las anisotropías del material que producen la aparición de ambos tipos de rayos y luego la absorción selectiva para los rayos de la luz según su estado ce polarización.

Esta propiedad puede ser aprovechada para obtener luz linealmente polarizada y para estudiar el estado de polarización que pueda tener un determinado rayo de luz.

Cuando se prepara una lámina de un cristal birrefringente uniáxico de modo que su eje óptico quede paralelo a la superficie de la lámina y la incidencia de la luz se produce normalmente por esa superficie los rayos ordinario y extraordinario mantienen la misma dirección (aunque se retrasa uno con respecto al otro como veremos después) y si además la lámina es dicróica entonces la luz emergente tendrá preponderantemente la componente cuyo estado de polarización es la que vibra en un plano paralelo al eje óptico o en un plano perpendicular al eje óptico de la lámina (esto depende de que tipo de absorción dicróica presente el material, si la de absorber intensamente el rayo ordinario o el rayo extraordinario). A esta lámina dicróica se le llama filtro polarización por absorción.

Consideremos el caso del filtro polarizador dicróico ideal que sería aquel que la absorción del otro rayo es despreciable y además las pérdidas por reflexión sean tan pequeñas que se puedan considerar nulas. A la dirección ligada al filtro y que al incidir luz cuyo vector oscile paralelamente a la ella ese rayo no es absorbido, se le llama eje de transmisión del filtro polarizador. Nótese que el eje de transmisión es paralelo al eje óptico o perpendicular a él.

Se puede enunciar el contenido de la llamada Ley de Malus de la siguiente forma:

Si sobre un filtro polarizador por absorción ideal incide normalmente un haz de luz linealmente polarizada cuyo vector E oscila en un plano de los que contienen a la dirección de propagación que forma un ángulo q con el eje de transmisión del filtro polarizador, entonces solo la componente de las oscilaciones que son paralela al eje de transmisión del filtro, por esta razón la amplitud de las ondas transmitidas será tal que:

Como la intensidad la luz es proporcional al cuadrado del módulo de la amplitud de las oscilaciones del vector E se tiene que:

Además la luz emergente es linealmente polarizada y el vector óptico vibra en el plano que contiene al eje de transmisión del filtro de los infinitos planos que contienen a la dirección de propagación.

Para el caso que la luz incidente sea luz no polarizada, debido a la igualdad de probabilidad de hallar al vector óptico de la luz incidente en cualquiera de los infinitos planos que contienen al dirección de propagación, el ángulo entre el vector E de la luz incidente y el eje de transmisión del filtro polarizador tendrá igual probabilidad de tomar valores entre 0º y 90º lo que significa que el valor medio de la intensidad de la luz transmitida es:

En cuanto al estado de polarización de la luz emergente esta es linealmente polarizada con el vector óptico vibrando en el plano que contiene al eje de transmisión del filtro polarizador y a la dirección de propagación.

Para el caso de que la luz incidente sea circularmente polarizada el resultado del cálculo de la intensidad de la luz transmitida es equivalente al del caso anterior, pero la causa es otra porque ahora no se trata de que el ángulo entre el vector óptico de la onda incidente y el eje de transmisión del filtro tome cualquier valor, sino que este ángulo va tomando, al rotar el plano en el que se encuentra el vector óptico de la onda incidente, entre 0º y 90º. El estado de polarización es análogo al de los otros dos casos vistos anteriormente.

Faltarían los casos de que sobre el filtro polarizador incida luz elípticamente polarizada, de los dos tipos, y luz parcialmente polarizada. Puede quedar para los alumnos la investigación de lo que acontecería en estos casos.

Todos estos casos pueden ser conceptualizados como la Ley de Malus (aunque realmente se cumple esta ley no tan solo para los filtros polarizadores por absorción, sino también para el caso de los llamados prismas de Nicols e incluso para la luz linealmente polarizada por medio de reflexión de Brewster).

2.11.4 Láminas birrefringentes

2.11. 5 Conclusiones

La luz son una ondas electromagnéticas que en los medios homogéneos, isótropos y lineales son ondas transversales ellas son capaces de mostrar distintos estados de polarización.

Y  por otro lado muchos de los fenómenos de interacción de esas ondas luminosas con las sustancias y los cuerpos depende del tipo de polarización que presenten las ondas incidentes, dando como resultados, entre otros fenómenos, cambios en el estado de polarización de la luz emergente de los cuerpos con los cuales ella interaccionó y cambios en la intensidad de la luz emergente con relación a la intensidad de la luz incidente.

Estos hechos permiten utilizar la luz, su intensidad y su estado de polarización, para estudiar distintos objetos, cuerpos y sustancias. Esto permite una amplia gama de utilización de las propiedades de polarizabilidad de la luz, tanto en ramas de las ciencias como en aplicaciones en las tecnologías.

Algunos ejemplos de lo anterior son los polarímetros, que son dispositivos que permiten medir la rotación del plano de vibración del vector óptico de la onda emergente que atravesó un determinado espesor de una sustancia ópticamente activa, esto es que tiene la propiedad de hacer rotar este plano, con respecto a plano de vibración del vector óptico de la onda linealmente polarizada incidente. Un caso particular de este dispositivo es el sacarímetro, que permite medir la concentración de esta sustancia en el jugo de la caña de azúcar  bajo el mismo principio pues la sacarosa es ópticamente activa. Otros ejemplos notorios son todos las aplicaciones de la superposición de luz polarizada que ha pasado por un modelo de un plástico de piezas de acero que trabajan en determinado mecanismo y de esta forma hacer un estudio sobre la distribución y concentración de tensiones en el modelo que brindan información sobre esos mismos aspectos sobre la pieza como tal. También en la microscopía óptica existen múltiples aplicaciones de la polarización de la luz.

Estos son solo algunos ejemplos de esta gama de aplicaciones.

2.12 Interferencia de la luz

Introducción

Entre los fenómenos en los que se manifiesta la naturaleza ondulatoria electromagnética de la luz se encuentran los de la interferencia de la luz.

La interferencia es consecuencia de la superposición de ondas coherentes dando como resultado un patrón interferencial que tiene distintas formas de manifestarse en dependencia del tipo concreto de dispositivo mediante el cual, al interaccionar la luz con él, se obtiene ese patrón.

Para que se produzca el fenómeno de la interferencia de la luz deben superponerse dos o más rayos luminosos que sean coherentes. Es por ello que una de las clasificaciones de estos fenómenos tiene que ver con la forma de obtención de los rayos que, siendo coherentes, se van a superponer. Así se tiene la interferencia por división del frente de onda y por división de la amplitud.

En este apartado además de las definiciones sobre el fenómeno como tal se estudiarán las condiciones ideales y reales para la coherencia y las condiciones generales y particularizadas en varios de los dispositivos de interferencia de máxima y mínima intensidad en el patrón de interferencia.

2.12.1 Discusión inicial

Estas afirmaciones deben ser analizadas por Ud. para ver qué tan ciertas son en todo lo que plantean o en parte de lo que se expresa.

1. Al superponerse la luz se produce el fenómeno de la interferencia caracterizado por un patrón de interferencia que no es más que una distribución espacial de máximos y mínimos de intensidad de la luz.
2. Dos o más ondas monocromáticas son coherentes cuando tienen la misma frecuencia angular.
3. Que tengan las dos ondas monocromáticas la misma frecuencia es condición necesaria, pero no suficiente para que se produzca el patrón de interferencia.

2.12.2  Fenómeno de interferencia de la luz. Condiciones ideales y reales de coherencia de la luz

Son varios los tipos de fenómenos en los que participa la luz donde se manifiesta su carácter de onda electromagnética. A la parte de la Física que estudia este tipo de fenómenos se le llama Óptica Ondulatoria.

Entre los más importante grupos de fenómenos están los relacionados con la llamada Interferencia de la Luz o Interferencia Luminosa.

Analicemos el caso de la superposición de dos ondas planas, monocromáticas y de igual frecuencia, sinusoidales, linealmente polarizadas y que los planos de vibración de los respectivos vectores eléctricos coincidan y que las direcciones de propagación sean aproximadamente iguales y que son emitidas por dos focos puntuales S₁ y S₂ muy alejados del punto donde se superponen ambas ondas, entonces se puede realizar la siguiente figura:

de la cual y según el principio de superposición se tiene que:

donde Dj es la diferencia de fase entre las dos ondas. Como las dos ondas son monocromáticas y de igual frecuencia la diferencia de fase dada por [k(r₂–r₁)+(a₁–a₂)] permanece constante en el tiempo para cada punto que esté situado a las distancias r₁ y r₂ de los correspondientes focos puntuales.

Como de la gráfica se tiene que:

Debido a la ley de los cosenos.

También de la gráfica:

Y entonces se tiene:

donde se ha aprovechado la proporcionalidad entre la intensidad de la onda luminosa y el cuadrado de la amplitud de la onda.

Para el caso en que las amplitudes, y por ende la intensidad de ambas ondas que se superponen, son iguales, se tiene:

donde b es la mitad de la diferencia de fase entre las dos ondas que se superponen e I₀ es la intensidad de la luz debido a uno solo de los rayos interferentes (cuando el otro rayo es suprimido) y a la vez es la cuarta parte de la intensidad en el punto donde la diferencia de fase sea nula o un múltiplo de 180º.

De este resultado se aprecia que la intensidad de la luz no se distribuye monótonamente al variar la posición del punto donde se estudia la superposición de las ondas. Se nota que la dependencia entre la intensidad de la luz en los puntos donde se produce la superposición con el ángulo de la diferencia de fase (mejor con la mitad de ese ángulo) es a través de una función coseno al cuadrado.

Así se llega a:

con E₀ dado por la ecuación anterior correspondiente y con

siendo r la posición promedio entre r₁ y r₂ y a es la fase inicial de las oscilaciones del vector óptico resultante en ese punto

Veamos ahora, a manera de resumen cuáles son las condiciones que deben satisfacer los dos rayos que interfieren. A estas condiciones les llamaremos condiciones ideales de coherencia entre los dos rayos.

Dos rayos de luz son coherentes totalmente sí:

Cuando se satisfacen estas condiciones ideales de coherencia el patrón interferencial es visible y estacionario en el tiempo. Las dos primeras de estas condiciones hacen que se cumpla que la diferencia de fase permanezca constante en el tiempo. A esta condición sumaria se le llama condición fundamental de coherencia.

Entonces para el patrón interferencial se pueden expresar las condiciones de máxima y mínima intensidad luminosa en términos de la diferencia de fase entre las ondas coherentes que se superponen o términos de la diferencia de camino óptico entre los dos rayos en su recorrido desde la fuente (puntual) hasta el punto de superposición. Para obtener unas condiciones de las otras, se utiliza la relación Dj =(2p/l)Dl, donde Dl es la diferencia de camino óptico.

El fenómeno de la interferencia luminosa se puede observar aún cuando no se cumplan estrictamente las condiciones ideales de coherencia. Para estos casos en que aún existe y es observable el patrón de interferencia se dice que se cumplen las llamadas condiciones reales o parciales de coherencia. Veamos estas condiciones:

El rango admisible está relacionado con el concepto de longitud de coherencia.

Llamemos longitud de coherencia a la magnitud L_c = l²/D l. Entonces siempre que la diferencia de camino óptico entre los rayos sea mucho menor que la longitud de coherencia (Dl = l²/Dl) el patrón existirá y será visible. Esto es equivalente a que el orden de los máximos sea mucho menor que l/Dl. Asociado con el concepto de longitud de coherencia se tiene el concepto de tiempo de coherencia t_c, tal que se cumple que L_c = ct_c. esto permite asegurar que dos ondas cuasi monocromáticas que al superponerse en un punto hayan sido emitidas por los correspondientes focos con una diferencia de tiempo menor que el tiempo de coherencia el patrón existe y es visible. (Esto último está relacionado con la constancia de la diferencia de fase inicial.)

Se puede introducir el coeficiente llamado grado de coherencia tal que:

donde g es el grado de coherencia que vendrá dado por:

Como se aprecia la visibilidad del cuadro interferencial dependerá del grado de coherencia.

1. Para luz linealmente polarizada cuyos planos de vibración de los correspondientes vectores ópticos formen un ángulo f, el factor de multiplicación que afectará a g será cosf.
2. Para los casos en que los rayos a interferir sean elípticamente polarizados con las mismas características o no polarizados y siendo f el ángulo que forman las direcciones de propagación en el punto en que se produce la superposición, el factor será (1+ cosf)/2.

2.12.3  Experimento de Young

donde m es el orden o número de conteo de los máximos. Nótese que para el máximo central el orden es m = 0. Y la existencia de los valores positivos y negativos se toman para poder relacionar los máximos y mínimos a ambos lados del máximo central.

Existen otros dispositivos en los cuales se logra la interferencia de dos haces coherentes tales como: El Espejo de Lloyd, Las Espejos de Fresnel; El Biprisma de Fresnel, La Bilente de Billet, etc.

2.12.4 Interferencia en láminas delgadas

A partir de estas expresiones y aplicando las condiciones de máxima y mínima intensidad luminosa. Un caso particular es el de la incidencia normal, con q igual a 0º, convierte todas estas expresiones en relaciones más sencillas.

Aunque estas expresiones para la diferencia de camino óptico fueron obtenidas para el caso de láminas planoparalelas, ellas son válidas para los casos de láminas de espesos variable.

En todos los casos las láminas han de ser muy delgadas. Esto se debe a que si el espesor es grande entonces las diferencias de camino excederán a la longitud de coherencia y se pierde la coherencia para que los rayos puedan interferir.

Es conveniente discutir cuáles son los resultados de estos fenómenos de interferencia.

Veamos algunos de los casos más importantes.

Para las cuñas se tiene la figura que representa una vista lateral de la cuña y de la luz l los rayos que inciden sobre ella para el caso de al incidencia normal:

Figura # 18

Entonces se puede hacer:

y

restando se tiene:

Y como

se tiene

que es la ecuación que caracteriza el fenómeno de la interferencia en los casos que las láminas tengan formas de cuñas. En esta ecuación r es la densidad lineal de franjas completas en el patrón que se forma sobre la cuña y que se mide en m^-1.

Para los anillos de Newton la discusión se efectuará por los estudiantes al trabajar la correspondiente situación problémica.

2.12.5 Conclusiones

Los fenómenos de la interferencia luminosa confirman la naturaleza ondulatoria electromagnética de la luz.

Las condiciones de coherencia garantizan la existencia y la visibilidad de los patrones de interferencia.

Y las condiciones de máxima y mínima intensidad que se producen en el patrón y que deben ser concretadas o particularizadas para el tipo de dispositivo interferencial del que se trate, permiten calcular las posiciones y otros detalles de ese patrón.

En el estudio de estos fenómenos deben ser tomados en cuenta los distintos aspectos que se relaciones en ellos, a saber: las características de la radiación incidente sobre el dispositivo, y entre las que encuentran la composición espectral (longitudes de onda o frecuencias) y la intensidad; las características del dispositivo, en particular las características óptico - geométricas del mismo y las características de patrón, entre las que están las posiciones angulares o lineales de los distintos detalles y la intensidad de la luz en cada punto.

Las aplicaciones tecnológicas de estos fenómenos van desde lo que se conoce como Interferometría que se refiere a las mediciones que pueden ser realizadas a partir de la interferencia, tales como las mediciones de longitudes de ondas, de pequeñas distancias y ángulos, de índices de refracción y la determinación de propiedades geométricas de distintos cuerpos; hasta las aplicaciones modernas en la holografía y la reproducción y selección de imágenes de alta resolución y con propiedades tridimensionales.

Por otra parte, en las Telecomunicaciones, en un fenómeno a tener en cuenta cuando en el empeño de la fidelidad y calidad de la información transmitida, este fenómeno puede ser perjudicial y habrá que disminuir su efecto.

2.13 Difracción de la luz

2.13.1 Introducción

Entre los fenómenos en los que se manifiesta la naturaleza ondulatoria electromagnética de la luz se encuentran los de la difracción de la luz.

La difracción es consecuencia de la superposición de las ondas secundarias emitidas por cada punto de una superficie de ondas, según sus amplitudes y fases. Este fenómeno se manifiesta en general con la violación o limitación de la denominada ley de la propagación rectilínea de la luz. También este fenómeno es capaz de producir un patrón de difracción de la luz.

Para su estudio, el fenómeno de la difracción de la luz se divide en dos tipos: la denominada difracción de Fresnel y la difracción de Fraunhofer. En el primer caso, los rayos que se superponen para producir el fenómeno no son paralelos entre sí. En tanto en el segundo caso si lo son.

En particular veremos cómo se puede estudiar la distribución de intensidades de la luz en el patrón de difracción.

2.13 1 Discusión inicial

Estas afirmaciones deben ser analizadas por Ud. para ver qué tan ciertas son en todo lo que plantean o en parte de lo que se expresa.

1. La ley de marcha rectilínea de la luz no puede ser violada nunca. Es decir, no tiene límites en su validez.
2. Gracias al principio de Huygens se puede explicar cuando no se satisface la ley de la marcha rectilínea de la luz en un medio homogéneo.
3. En una primera definición la difracción consiste de los fenómenos que ocurren en los límites de validez de la ley de la propagación rectilínea de la luz en medios homogéneos. La luz deja de propagarse en línea recta en un medio homogéneo al pasar por las cercanías de los bordes de un obstáculo.
4. Para obtener información sobre la amplitud de las ondas que se propagan en una dirección dada, partiendo del Principio de Huygens según el cual los rayos tienen la dirección que parte de cada punto de una superficie de onda hasta el punto de tangencia de la superficie de ondas secundarias con la envolvente a estas superficies de ondas secundarias, habrá que tomar en cuenta las relaciones de fase entre las ondas a superponer.
5. Producto de la difracción de la luz, pueden ocurrir distribuciones no monótonas de la intensidad luminosa, esto es, pueden aparecer zonas claras y zonas oscuras.

2.13. 2 Difracción. Difracción de la luz. Principio de Huygens-Fresnel

Estos fenómenos fueron descubiertos por Grimaldi en la segunda mitad del Siglo XVII.

El fenómeno de la difracción de la luz se manifiesta con la violación de la ley de propagación rectilínea de la luz en medios homogéneos. En su esencia está el carácter ondulatorio de la luz y se debe a que en cada punto de al región hacia donde marcha la onda viajera, la amplitud resultante de las oscilaciones del vector óptico se deben a la superposición de los aportes infinitesimales de las ondas secundarias emitidas por elementos de superficie de la superficie de onda. Esta superposición debe ser calculada tomando en cuenta, además de las amplitudes de esas contribuciones infinitesimales, las fases de esas ondas secundarias que se superponen.

Precisamente este el contenido del Principio de Huygens – Fresnel. Según este principio la nueva superficie de onda es la envolvente de las ondas secundarias emitidas por cada punto de la vieja superficie de onda. (Hasta aquí se da el aspecto cualitativo de la forma de las sucesivas superficies de onda en una onda luminosa u otros tipos de ondas. Este fue el aporte de Huygens). Y la amplitud de las oscilaciones del vector óptico en un punto por delante de la superficie de onda, situado en la región hacia la que marcha la luz, será la suma de las amplitudes infinitesimales de las ondas que son las contribuciones de cada punto de frente de onda, asociada a un área infinitesimal de esa superficie de onda, y en esa suma ha de tomarse en cuenta la oblicuidad de la dirección en la que se encuentra el punto dedo con respecto a la dirección perpendicular a la superficie de onda, la distancia del foco emisor de las ondas secundarias hasta el punto donde se desea hallar la correspondiente contribución y las relaciones de fase entre esas ondas secundarias que se superponen en el punto dado. (Ahora se tienen los aspectos cuantitativos. Estos fueron los aportes de Fresnel).

Veamos como desde el punto de vista cualitativo se puede explicar la difracción de la luz en una abertura al contornear la luz los bordes que delimitan la abertura.

Supongamos que a una abertura en una pantalla opaca llega normalmente una onda plana cuyas superficies de onda son planas, entonces aplicando el principio de Huygens – Fresnel se tiene:

donde se aprecian dos aspectos, a saber: la luz al pasar por las cercanías de los bordes de los obstáculos se desvía de la marcha rectilínea y la intensidad de la luz que se desvía de la marcha rectilínea es menor que la que sigue cumpliendo con la ley de la propagación rectilínea. Estos dos aspectos, en conjunto nos lleva a comprender que si los bordes de la abertura se acercan, lo que sería equivalente a que la rendija sea mucho más estrecha, la relación de la intensidad de la luz que se desvía en comparación con la que no, irá en aumento, haciendo más visible y notable el efecto de la difracción.

Así se puede llegar a establecer un criterio para que la difracción sea apreciable. Tal condición es tal que b ~ l (con b>l).

Desde el punto cuantitativo se tendría:

De acuerdo con este principio la contribución infinitesimal a la amplitud de las oscilaciones del vector óptico en el punto P debido a las ondas secundarias emitidas desde un punto de la superficie de onda asociado con el elemento infinitesimal de área DA_i debe ser proporcional a esa área, al llamado factor de oblicuidad q(a_i)=[1+cos(a _i)]/2 e inversamente proporcional a la distancia desde el punto en la superficie de onda y el punto P.

Y al sumar (una integral) todas estas contribuciones debe tomarse en cuenta las diferencias de fase entre todas las contribuciones de todos los puntos, descubiertos, de la superficie de onda. Tal suma será entonces una suma fasioral (una integral fasioral).

2.13 3 Difracción de Fresnel y de Fraunhofer

Aunque la difracción, como fenómeno es un solo, para su estudio y atendiendo a la forma de iluminar los dispositivos y como consecuencia de ello por el grado de dificultad matemática para su estudio. Las dos formas son llamadas: difracción de Fresnel y difracción de Fraunhofer.

En el segundo caso la difracción se logra al iluminar el obstáculo con rayos paralelos entre sí y que luego los rayos difractados, que se superpondrán, que sean paralelos entre sí. Como los rayos paralelos se pueden lograr, teóricamente, por disponer la fuente de luz infinitamente alejada del dispositivo (obstáculo) y luego disponer de una pantalla donde se van a observar los resultados de la difracción (patrón de difracción) a una distancia prácticamente infinita de dispositivo (obstáculo). Como esto imposible en las condiciones del laboratorio, lo que realmente se hace es colocar una fuente puntual en el punto focal de una lente convergente L₁ y hacer así que los rayos que inciden sobre el obstáculo sean paralelos entre sí. Al otro lado del obstáculo se dispone otra lente convergente L₂, colocándose una pantalla en el plano focal de dicha lente para recoger los rayos que se difractan paralelamente entre sí.

El estudio de este tipo de difracción se simplifica mucho desde el punto de vista matemático, como veremos en el ejemplo de la difracción de Fraunhofer por una abertura, debido a que como las lentes delgadas no introducen diferencia de camino óptico, toda la diferencia de camino óptico entre los rayos de las ondas secundarias que llegan, con un determinado ángulo, se producirá después de atravesar la lente L₂ y este no es difícil de calcular y por otro lado el factor de oblicuidad es igual para todos los rayos que se difractan con un mismo ángulo.

Para el primer caso, el de la difracción de Fresnel se tiene que en general los rayos que inciden sobre el dispositivo y obstáculo no lo hacen en forma paralela entre sí y los rayos que se han de superponer después de pasar por los puntos de la vecindad del obstáculo se han difractado con distintos ángulos. Esta es la situación más habitual de producirse la difracción de la luz.

En estos casos la descripción matemática se hace más complicada. A pesar de ello, existen determinados métodos gráficos y "algebraicos" que permiten llegar a los resultados finales de forma más expedita.

En la gráfica se representa una situación de iluminación con las condiciones para la difracción de Fraunhofer:

Y por otro lado en la siguiente gráfica se representa una situación de iluminación con las condiciones de la difracción de Fresnel:

Veamos cómo se podría estudiar la difracción de Fresnel para el caso de una abertura circular en una pantalla opaca.

Fresnel utilizó una forma muy interesante para tomar los elementos de área de la superficie de onda que a partir de una fuente puntual y que llega a la abertura circular. Sobre este sector de superficie de onda se trazan, imaginariamente, circunferencias concéntricas con centro en el punto de intersección del frente de onda con la línea que une el punto de emisión de las ondas con el punto P, por delante de la superficie de onda. Estas circunferencias tiene un radio tal que los rayos llegan a P partiendo de los puntos del frente de onda que y quedan sobre cada circunferencia tienen una diferencia de camino óptico igual a media longitud de onda con los rayos que parten de los puntos que están sobre la circunferencia contigua (en el caso que todo este fenómeno se efectúe en un medio de índice de refracción n, la diferencia de camino será l/2n). A los sectores que quedan entre dos de estas circunferencias se les llama zonas de Fresnel.

En la figura se representa la división en zonas de Fresnel:

De esta forma los rayos que parten de los puntos que están en la frontera de la zona de orden cero y la zona de orden 1 y los que están en la frontera de la zona de orden 1 la zona de orden 2 están en oposición de fase. Ellos al superponerse deben dar como resultado un mínimo de intensidad de la luz, que no es absoluto debido a que la orientación de los rayos que parten de ambas fronteras no es igual (se puede probar que el área de las zonas de Fresnel es casi la misma para todas ella).

Por otro lado los rayos que parten de las fronteras entre las zonas de Fresnel alternadas están en fase.

Esto hace que si desde el punto P se "ve" una cantidad impar de zonas en él habrá un máximo y si el número de zonas que se "ven" desde P es par, entonces habrá en P un mínimo de intensidad luminosa.

Al ir alejando el punto P se desnudará en abertura circular una cantidad de zonas de Fresnel que será cada vez mayor por lo que se tendrá una sucesión de máximos y mínimos de intensidad.

También si el diámetro de la abertura circular en la pantalla opaca se aumenta, sin mover el punto P, entonces en P se producirá una sucesión de máximos y mínimos de intensidad.

Es muy interesante el caso en que la abertura en la pantalla opaca no sea circular, sino de bordes irregulares y queda a los estudiantes investigar lo que ocurre en ese caso.

Se pueden ejecutar dos procedimientos para calcular la amplitud de las oscilaciones del vector óptico en el punto P, a saber: un método de suma fasorial gráfica y un método algebraico. En ambos casos queda a los estudiantes investigar cómo se procede y cuáles serán los resultados. Por ejemplo se tiene el resultado sorprendente que establece que cuando se coloca una pantalla opaca que tiene una abertura ante una fuente puntual de luz y de forma tal que se desnude solo la zona de Fresnel de orden cero, la intensidad de la luz que no llega es mayor que la apreciamos si no colocamos pantalla alguna.

2.13.4 Difracción de Fraunhofer por una abertura plana rectangular

Para los casos en que se observa la difracción con las condiciones de Fraunhofer se tiene una caso típico y es que se obtiene cuando se hacen incidir rayos paralelos entre sí sobre una pantalla opaca con una abertura en forma de ranura rectangular de dimensiones a y b, tal que a<<b.

En este caso la figura da una representación de la sección transversal de tal dispositivo

La contribución a la amplitud de E en punto correspondiente en la pantalla, sustentado por un ángulo q, de un elemento infinitesimal de área adx situado en el origen de un eje coordenado centrado en el centro de la abertura tomando en cuenta su dimensión b, será:

Y para el rayo que sale con ese mismo ángulo del elemento de área adx situado a una distancia x del origen del eje coordenado la contribución será:

De modo que para hallar la contribución sumaria se debe realizar la integral:

donde a=(bksenq)/2 es la diferencia de fase entre el rayo que se difracta con un ángulo q desde el punto central de la abertura y el rayo que se difracta con ese mismo ángulo desde uno de los bordes de la abertura.

Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones del vector óptico, se tiene:

siendo I₀ la intensidad el punto con q = 0 (a = 0), que es el centro del patrón de difracción que se forma en la correspondiente pantalla y es cuando la diferencia de fase de todos los rayos que llegan ese punto es nula. Nótese que I₀ es proporcional al área total de al rendija.

Además, al factor que aparece multiplicando a I₀ se le llama factor de difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular.

En la figura se muestra una gráfica del factor de difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular vs. el valor de a. Esta será la forma en que se distribuye la intensidad luminosa en el patrón correspondiente.

Es importante calcular los valores relativos de las intensidades de los máximos de intensidad.

Veamos ahora dónde es que se encuentran los distintos detalles del patrón.

Si tomamos el factor de difracción y le aplicamos el método del Cálculo Diferencial se tiene:

Como se aprecia, los máximos laterales no están dispuestos justo al medio entre los dos mínimos que lo delimitan, sino algo más hacia el centro del patrón con respecto esa posición intermedia.

2.13.5 Conclusiones

Entre los fenómenos de la interferencia y la difracción de la luz existen ciertas analogías y a la vez, diferencias importantes que hacen que se trate de dos tipos de fenómenos que se distinguen entre sí.

En el caso de la difracción, aunque también se trata de superposición de ondas se puede decir que las ondas que se superponen tienen una aportación infinitesimal a el resultado finan en el patrón de difracción.

Por otro lado el propio fenómeno de la interferencia, en la gran mayoría de dispositivos, se hace posible, en cuanto a lo obtención de los rayos coherentes que van a superponerse para interferir, gracias a la difracción de la luz.

La difracción de luz debe ser tomada en cuanta en el diseño de los instrumentos ópticos pues ella, al estar presente en mayor o menor medida, hace que, al apartase los rayos del cumplimiento de la ley de la marcha rectilínea de la luz, el poder separador de los instrumentos ópticos se vea afectado ya que en el campo imagen le corresponde un disco, acompañado además de anillos claro oscuros, a lo que en campo objeto era un punto. Y este afecto se aumenta al disminuir el radio de la pupila de esos instrumentos, disminución que se procura en general para aumentar la paraxialidad de los rayos y con ello evitar las aberraciones que afectan por otro lado la calidad de las imágenes obtenidas.

Para las ondas de longitudes largas utilizadas comúnmente en las comunicaciones, la difracción se produce en obstáculos de dimensiones del orden de las longitudes de onda utilizadas puede en general afectar las transmisiones. Una vía es el actual proceso en que cada vez más se trabajan en las zonas cuasi-ópticas del espectro electromagnético.

2.14 Redes de difracción

2.14 1 Introducción

Los fenómenos de la interferencia y la difracción luminosa presentan como elemento común el hecho de que ambos se producen por superposición de ondas. Por otra parte en un mismo dispositivo lo más general es que ambos fenómenos se produzcan a la vez. Así, por ejemplo en el dispositivo de la doble abertura, gracias al fenómeno de la difracción es que se puede lograr, con la primera rendija practicada en una pantalla opaca, la coherencia y por otra parte ya en el dispositivo mismo, en la doble abertura gracias a que los rayos de la luz se difractan, es que luego pueden interferir y producir el patrón de difracción.

En lo que sigue vamos a estudiar un dispositivo en el cual se produce el fenómeno de la interferencia, pero entre más de dos rayos, es decir, la denominada interferencia múltiple y en conjunción con esto, la presencia del fenómeno de difracción de la luz. Tales dispositivos son las llamadas redes de difracción.

2.14.1 Discusión inicial

Estas afirmaciones deben ser analizadas por Ud. para ver qué tan ciertas son en todo lo que plantean o en parte de lo que se expresa.

1. Una red de difracción plana unidimensional consiste de una pantalla opaca plana con N ranuras rectas muy estrechas todas de ancho uniforme b y equiespaciadas a una distancia llamada periodo de la red d. Todas estas ranuras son paralelas entre ellas
2. Al pasar la luz por un dispositivo de este tipo con las condiciones de Fraunhofer se obtiene un patrón resultante que se produce como consecuencia de la combinación de dos patrones distintos: la interferencia múltiple de N rayos coherentes y el de difracción de Fraunhofer por cada una de las aberturas.

2.14.2 Difracción de Fraunhofer e interferencia múltiple por N aberturas planas rectangulares

Antes de avanzar en este tema debemos aclarar porqué estas redes se llaman planas y unidimensionales. Son planas porque se disponen las rendijas sobre una pantalla plana y son unidimensionales porque lo que se repite, las rendijas dispuestas a distancia fija, lo hace a lo largo de una sola dimensión.

Es evidente que al iluminar con las condiciones de Fraunhofer una red de difracción plana unidimensional de N aberturas iluminadas se produce el fenómeno de la difracción en cada una de estas aberturas. Aunque la posición de los respectivos centros de estos patrones es algo distinta, esta pequeña diferencia será siempre mucho menor que el ancho medio del máximo central de difracción correspondiente a cada rendija. Por esto se habla de un solo patrón. Esto significa que la distribución de la intensidad de la luz debe estar afectada por este fenómeno y que la función que describiera esta distribución debe tener como un producto del factor de difracción (sena/a)².

Por otro lado está presente el fenómeno de la interferencia múltiple de los N rayos coherentes que emerge, cada uno, de cada rendija.

Realicemos la suma fasorial de estas N ondas coherentes.

La función de onda de la onda que emerge de la primera abertura iluminada puede ser representada de la forma siguiente:

donde j es la raíz de menos uno.

Para la onda que emerge de la rendija i se puede escribir como:

donde se ha supuesto, por comodidad que la fase inicial de todas las ondas es la misma.

Entonces la resultante se obtiene sumando estas ondas desde i = 1 hasta i = N:

donde se ha supuesto que las amplitudes de todas las ondas, son iguales.

En esta expresión b es la mitad de la diferencia de fase entre los rayos que emergen de rendijas contiguas.

Como la intensidad es proporcional a la amplitud de estas oscilaciones resultado de la superposición de las N ondas en el punto de la pantalla que tiene la posición angular q, la intensidad del patrón de interferencia múltiple será:

siendo el factor que está multiplicando a CI₀ el llamado coeficiente de interferencia múltiple de N haces coherentes.

Estudiemos este factor.

En el límite cuando b tienda a cero este factor toma el valor N². Por esta razón para que I₀ sea la intensidad en el punto central del patrón de interferencia, C toma el valor del inverso de N².

Por otra parte para los valores notables para b = ± m_ip, con m_i = 0; 1; 2; 3; ..., se tiene que el factor de interferencia múltiple de N haces coherentes es N^2.

Estos son los llamados máximos principales de interferencia múltiple de N haces coherentes o picos de interferencia.

Se puede establecer, aplicando las técnicas de estudio de extremos de funciones del Cálculo Diferencial, que la condición de mínimo de intensidad es:

Nndsenq = ± m'_il, con m'_i = 1; 2; 3; ...; N – 1; N+1; N+2; N+3; ...; 2N–1; 2N+1; ...

De esta ecuación se aprecia que existirán N–1 mínimos de intensidad entre dos máximos principales adyacentes.

Es evidente que existirán, por tanto, N–2 máximos secundarios entre dos máximos principales contiguos. Aunque esto puede ser probado utilizando el método que se indica más arriba.

En la figura se representa el patrón de interferencia múltiple para 10 haces coherentes.

2.14.3 Patrón de la red de difracción

Sin embargo como en la red también se produce el fenómeno de la difracción por las N rendijas iluminadas, la expresión matemática que describe cómo se distribuye la intensidad luminosa en la pantalla viene dada por:

con

donde d y b son el periodo de la red y el ancho de las aberturas respectivamente, l es la longitud de la onda incidente y q es la posición angular del detalle del patrón de que se trate.

De esta forma si se representara gráficamente el patrón se obtendría una gráfica con la forma siguiente:

Esta figura se corresponde con la red de N = 10. Además en ella se tiene una relación de d = 3b. Nótese como los máximos principales de orden 3 (–3); 6 (–6) y 9 (–9) no aparecen. A esto se le denomina condición de coincidencia espacial de mínimos de difracción con máximos principales de interferencia. Queda a los alumnos encontrar cómo se determina esa relación.

Algunos plantean que el patrón de difracción "modula" al patrón de interferencia múltiple de N haces coherentes. Pero se puede hablar tal vez en términos de que ambos patrones se regulan uno al otro.

Otro asunto de interés es estudiar los factores de los que depende I₀, que es la intensidad del máximo central. El valor de esta magnitud es proporcional a N²b².

2.14.4 Dispersión angular y poder separador de la red

Dos interesantes magnitudes para caracterizar el comportamiento de la red como dispositivo para ser usado como espectrómetro son: la dispersión angular y el poder separador.

Veamos como se definen.

La dispersión angular es la separación angular por unidad de longitud de onda y alrededor de una longitud de onda dada de dos picos o máximos principales de longitudes de onda muy próximas, esto es:

En el SI la dispersión angular se mide en rad/m.

Se pueden obtener las expresiones de cálculo para estas magnitudes y a la vez con eso probar que la dispersión angular es función de la longitud de onda y con ello su valor no permanece constante al variar la posición angular en el patrón los picos correspondientes a un orden dado.

La obtención es como sigue: diferenciando la condición de máximo principal de interferencia se tiene:

que implica que

La segunda de estas expresiones permite establecer que la dispersión angular es función de la longitud de onda que al aumentar la longitud de onda, lo que es equivalente a que calcular la dispersión angular en una zona del patrón de mayor posición angular, la dispersión angular aumenta. Por lo demás todas estas expresiones son equivalentes y su utilización dependerá de los datos de los que se dispone.

El poder separador de una red es una magnitud adimensional que mide la capacidad de la red para hacer distinguible los picos de un mismo orden correspondientes a dos longitudes de onda con valores muy próximos. En este caso se distinguen dos valores para el poder separador:

Siendo l_max el mayor valor entre los dos valores de las longitudes de onda de los haces que se pretenden separar.

De esta forma se tiene:

que es la condición para el primer mínimo adyacente, hacia el lado en que las posiciones angulares crecen, al pico de orden m₁ correspondiente a las ondas de longitud l₁.

Además se tiene:

que es la condición de máximo principal de interferencia múltiple de orden m_i correspondiente a la longitud de onda l₂.

Nótese que para ambos se ha considerado que la posición angular es la misma. de esto se llega a:

Para garantizar que la red aporta el poder separador igual o superior al necesario es mejor calcular para el mayor de los valores de las longitudes de onda involucradas.

De esta forma sí el poder separador de la red es inferior al necesario para separar dos picos de un mismo orden correspondientes a dos longitudes de onda muy próximas en valor, estos picos no serán resueltos y se apreciarán como un solo pico en el patrón de la red. En caso contrario, cuando el poder separador que aporta la red es mayor que el necesario, los picos quedan resueltos y se aprecian claramente como dos picos. En el caso en que el poder separador de la red coincida con el necesario los dos picos se aprecian justamente como dos y se dice que están justamente resueltos.

Nótese que el poder separador que aporta la red aumenta si se aumentan el número de rendijas iluminadas o el orden en el que se trabaja. Esta segunda vía como una forma de aumentar el poder separador de la red tropieza con el hecho dado por que el patrón de difracción hace que en los órdenes superiores la intensidad sea tan baja que estos picos resultan invisibles. Entonces la búsqueda del aumento del poder separador que aporta la red debe estar en aumentar el número de rendijas iluminadas. Pero como para cumplir las condiciones de Fraunhofer es conveniente no aumentar el diámetro del haz de luz que incide sobre la red, la mejor vía de hacer esto es aumentando la densidad lineal de aberturas o ranuras en la red. Esto implica lograr redes de periodo muy pequeño.

Esto se explica si se toma en cuenta que al aumentar el número N de rendijas iluminadas las posiciones angulares de los picos no se modifican, pero la cantidad de mínimos entre máximos principales contiguos aumenta y por otro lado la intensidad de cada pico aumenta (con N2) y estos dos efectos hacen que los picos se hagan más estrechos y brillantes, esto es, se hacen más nítidos.

Pero ¿cuáles son las diferencias entre estos dos conceptos o parámetros: la dispersión angular y el poder separador?

En primer lugar se trata de magnitudes definidas de distinta forma, siendo la dispersión angular una magnitud con dimensiones inversas a la de la longitud de onda y el poder separador es adimensional.

En segundo lugar la dispersión angular depende de la longitud de onda y el poder separador que aporta la red no depende de la longitud de onda.

Por último, y lo principal, la dispersión angular está relacionada con la distancia angular entre dos picos correspondientes a dos longitudes de onda muy próximas y no con el perfil de los picos, en tanto el poder separador que da la red esta relacionado con el perfil de los picos y con la capacidad de distinguir uno del otro. De este modo se pueden tener tres redes A, B y C tales que A tenga igual dispersión angular que B y menor dispersión angular que C y a la vez que B tenga mayor poder separador que A e igual poder separador que C. Se insta a los estudiantes a construir las gráficas de las representaciones de una parte de los patrones de interferencia de tales redes.

Está claro que sería bueno disponer de una red que tuviera una gran dispersión angular en la zona de interés del espectro y un gran poder separador ya desde el primer orden. Esto se logra teniendo una red que tenga una gran densidad lineal de rendijas, esto es que r sea grande.

2.14 5 Conclusiones

Las redes de difracción, gracias al aumento que se puede lograr del poder separador aún desde el mismo primer orden mediante el aumento del número de rendijas iluminadas y a la alta dispersión que se puede lograr por la vía de disminuir el periodo de la red, todo lo que se puede lograr a la vez mediante el procedimiento de aumentar la densidad lineal del rayado de la red, se constituyen en aparatos espectrales por excelencia, tanto en redes de fases (o sus copias) o con redes por reflexión.

Por otro lado el estudio de la simple red plana con el rayado en una sola dimensión aporta los métodos de estudio de otros casos más complejos y muy interesantes como los cristales que para las radiaciones de los Rayos X y para las ondas asociadas a haces de electrones de electrones se constituyen en redes tridimensionales que al ser "iluminadas" con estas radiaciones permiten la formación de patrones de líneas curvas, para el caso de los policristales, y de patrones de puntos, para el caso de los monocristales.

Así la Difracción de los Rayos X y la Electronografía conforman dos de los más poderosos métodos para la investigación científica y la evaluación de los cristales, sus propiedades estructurales y su comportamiento.

2.15 Relación de situaciones problémicas

1. Cálculo de carga neta en cuerpos son cargas que obedecen a densidades de carga distintas en la misma región del espacio. Por ejemplo sobre un cilindro de longitud L y radio de la base de R, se tiene una distribución volumétrica de carga que es igual a (x,y,z) y una densidad superficial de carga (x,y,z) y la tarea es calcular la carga neta que se tiene en esa distribución cilíndrica de carga.
2. Si se conoce, para una distribución de carga, la carga en cada punto de la distribución q(x,y,z), cómo calcular los distintos tipos de densidades de carga.
3. Cálculo de la carga neta en cuerpos con cargas que obedecen a densidades de carga distintas en la misma región del espacio, pero el caso de que las distribuciones de carga eléctrica tengan determinadas simetrías.
4. Aplicar la Ley de Coulomb para calcular la fuerza electrostática sobre una carga puntual q0 en las cercanías de una distribución, con simetrías o no, discreta de cargas. Analizar cómo se pueden construir el mapa de las líneas de fuerzas o líneas de E.
5. Cálculo de la fuerza coulombiana sobre una carga puntual de carga q₀ en al vecindad de distribuciones continuas de carga con simetrías de los tipos esférica, cilíndrica, etc. de las cuales se conoce la función de la densidad volumétrica de carga.
6. Cálculo de la fuerza coulombiana sobre una carga puntual de carga q₀ en al vecindad de distribuciones continuas de carga con simetrías de los tipos esférica, cilíndrica, etc. de las cuales se conoce la función de la densidad superficial de carga.
7. Cálculo de la fuerza colombiana sobre una carga puntual de carga q₀ en al vecindad de distribuciones continuas de carga con simetrías de los tipos cilíndrica, axial, etc. de las cuales se conoce la función de la densidad lineal de carga.
8. Cálculo de la fuerza resultante sobre un cuerpo que tenga una distribución, conocida y fija, de carga eléctrica en una región donde este instaurado un campo electrostático caracterizado por el campo vectorial E(r), uniformo o no.
9. Cálculo del momento de fuerzas electrostáticas sobre un dipolo eléctrico de cargas puntuales q y –q separadas una distancia l, situado en una región donde esté instaurado un campo electrostático de vector Intensidad del Campo Electrostático E(r), uniformo o no.
10. Cálculo del momento de fuerzas electrostáticas sobre un cuerpo cargado con centros de cargas positiva y negativa situados a una distancia l y fijos, situado el cuerpo en una región donde esté instaurado un campo electrostático de vector Intensidad del Campo Electrostático E(r), uniformo o no.
11. Cálculo de la fuerza magnética sobre un conductor de alta simetría situado en una región donde esté instaurado un campo magnético, uniforme o no, con Inducción Magnética B(r).
12. Cálculo de la fuerza magnética sobre una espira con corriente eléctrica situada en una región donde esté instaurado un campo magnético no uniforme de Inducción Magnética B(r).
13. Cálculo del momento de fuerzas magnéticas sobre una espira con corriente eléctrica situada en una región donde esté instaurado un campo magnético de Inducción Magnética B(r).
14. Cálculo de la fuerza de Lorentz sobre partículas cargadas eléctricamente y que se muevan en una región donde esté instaurado un campo electromagnético, analizando en particular el caso en que se tenga E(r,t) = E0exsen(kz – wt) y B(r,t) = B0eysen(kz – wt) y la partícula se mueva con una velocidad v.
15. Calcular el módulo del vector E, en puntos dentro y fuera de esa distribución, que caracteriza el campo electrostático asociado con distribuciones esféricas con densidades volumétricas, uniformes o dependientes del radio de la distribución, conocida y calcular la diferencia de potencial entre puntos de la vecindad de esas distribuciones de carga y el potencial absoluto en puntos de esa vecindad.
16. Calcular el módulo del vector E, en puntos dentro y fuera de esa distribución, que caracteriza el campo electrostático asociado con distribuciones cilíndricas con densidades volumétricas, uniformes o dependientes del radio de la de la sección transversal de la distribución, conocida y calcular la diferencia de potencial entre puntos de la vecindad de esas distribuciones de carga y el potencial absoluto en puntos de esa vecindad.
17. Calcular el módulo del vector E, en puntos dentro y fuera de esa distribución, que caracteriza el campo electrostático asociado con distribuciones cilíndricas con densidades superficiales uniformes conocidas y calcular la diferencia de potencial entre puntos de la vecindad de esas distribuciones de carga y el potencial absoluto en puntos de esa vecindad.
18. Calcular el módulo del vector E, en puntos dentro y fuera de esa distribución, que caracteriza el campo electrostático asociado con distribuciones lineales con densidades lineales uniformes conocidas y calcular la diferencia de potencial entre puntos de la vecindad de esas distribuciones de carga y el potencial absoluto en puntos de esa vecindad.
19. Calcular el módulo del vector E que caracteriza el campo electrostático asociado con distribuciones lineales con densidades lineales uniformes conocidas y calcular la diferencia de potencial entre puntos de la vecindad de esas distribuciones de carga y el potencial absoluto en puntos de esa vecindad.
20. Calcular el módulo del vector E en el interior de un conductor en las condiciones electrostáticas y el potencial absoluto en interior del conductor.
21. Calcular el vector B en puntos de una región en la vecindad de conductores filiformes rectos, finitos o infinitos, con corriente eléctrica.
22. Calcular el vector B en puntos de una región en la vecindad de varios conductores filiformes rectos, finitos formando espiras poligonales, con corriente eléctrica o de conductores rectos infinitos o finitos paralelos o no.
23. Calcular el vector B en puntos sobre los ejes de simetría de la distribución de corriente eléctrica dada por varios conductores filiformes en forma de espiras circulares, paralelas o no con corriente eléctrica.
24. Calcular el módulo del vector B en puntos de la vecindad de conductores filiformes muy largos con corriente eléctrica. Extienda el método para cuando existen varios conductores paralelos o no.
25. Calcular el módulo del vector B en puntos de la vecindad (dentro y fuera del conductor) de conductores cilíndricos de radio R y muy largos con corriente eléctrica distribuida uniformemente por la sección transversal del conductor. Extienda el método para cuando existen varios conductores paralelos o no.
26. Calcular el módulo del vector B en puntos de la vecindad (dentro y fuera del conductor) de conductores cilíndricos de radio R y muy largos con corriente eléctrica distribuida uniformemente o no, pero conservando la simetría cilíndrica, por la sección transversal del conductor. Extienda el método para cuando existen varios conductores paralelos o no.
27. Calcular el módulo del vector B en puntos de la vecindad (dentro y fuera de los conductores) de conductores cilíndricos coaxiales y muy largos con corrientes eléctricas iguales, pero de sentidos opuestos y distribuidas uniformemente o no por las secciones transversales de los conductores que conforman el cable coaxial.
28. Calcular el vector Intensidad del Campo Electrostático asociado con un dipolo eléctrico en puntos lo suficientemente alejados del mismo y sobre la recta que une a las dos cargas puntuales que conforman el dipolo.
29. Calcular el potencial electrostático asociado con un dipolo eléctrico en puntos lo suficientemente alejados del mismo y sobre la recta que une a las dos cargas puntuales que conforman el dipolo.
30. Calcular el vector Intensidad del Campo Electrostático asociado con un dipolo eléctrico en puntos lo suficientemente alejados del mismo y sobre la recta que siendo perpendicular a la recta que une las dos cargas puntuales que conforman el dipolo la intercepta en su el punto medio entre las dos cargas puntuales.
31. Calcular potencial electrostático asociado con un dipolo eléctrico en puntos lo suficientemente alejados del mismo y sobre la recta que siendo perpendicular a la recta que une las dos cargas puntuales que conforman el dipolo la intercepta en su el punto medio entre las dos cargas puntuales.
32. Calcular el vector Inducción Magnética asociado con un dipolo magnético debido a una espira plana con corriente eléctrica en puntos lo suficientemente alejados del mismo y sobre la recta es perpendicular a la espira con corriente.
33. Calcular el vector Inducción Magnética asociado con un dipolo magnético debido a una espira plana con corriente eléctrica en puntos lo suficientemente alejados del mismo que estén en el mismo plano que la espira.
34. Calcular la energía potencial de un dipolo eléctrico de momento p₁, situado de forma tal que su carga puntual negativa se encuentra en el punto marcado por el radio vector r en un sistema de referencia dado, al interactuar con el campo electrostático asociado con otro dipolo eléctrico de momento dipolar p₂, situado de forma tal que su carga puntual negativa esté situada en el origen del sistema de referencia.
35. Calcular la fem y su polaridad, así como la intensidad de la corriente inducida en los casos en que esta se pueda producir, para todos los casos posibles de circuitos donde su parte móvil es un conductor filiforme recto y muy rígido y cuando ese movimiento sea rectilíneo y uniforme.
36. Calcular la fem y su polaridad, así como la intensidad de la corriente inducida en los casos en que esta se pueda producir, para todos los casos posibles de circuitos donde su parte móvil es un conductor filiforme recto y muy rígido y cuando ese movimiento sea de rotación alrededor de un eje perpendicular al conductor y con rapidez angular constante.
37. Calcular la fem y su polaridad, así como la intensidad de la corriente inducida en los casos en que esta se pueda producir, para todos los casos posibles de circuitos donde su parte móvil es un conductor filiforme no recto, en particular los casos de espiras o semi espiras circulares y cuando ese movimiento sea de rotación o de traslación.
38. Calcular la fem y su polaridad, así como la intensidad de la corriente inducida en los casos en que esta se pueda producir, para los casos de espiras circulares fijas en una región donde esté instaurado un campo magnético variable con el tiempo. Analice varias posibilidades de dependencia temporal.
39. Calcular la fem y su polaridad, así como la intensidad de la corriente inducida en los casos en que esta se pueda producir, para los casos de espiras rectangulares fijas en una región donde esté instaurado un campo magnético variable con el tiempo. Analice varias posibilidades de dependencia temporal.
40. Calcular la fem inducida en el secundario de un autotransformador si se sabe que la tensión aplicada al primario tiene la expresión siguiente V₁(t) = V₀₁sen(wt + a).
41. Explicar en detalles cómo influye sobre las oscilaciones de un péndulo físico construido de un material conductor que no es atraído por el campo magnético hacia un imán permanente colocado en las cercanías.
42. Cálculo de la autoinductancia de un solenoide ideal. Realizar estimaciones para los casos de los solenoides reales.
43. Cálculo de la autoinductancia de un toriode.
44. Cálculo de la inductancia mutua entre dos solenoides ideales arrollados de forma que su alma sea común.
45. Cálculo de la inductancia mutua entre un solenoide ideal y un conductor situado paralelamente al eje del solenoide.
46. Cálculo de la energía potencial magnética almacenada en el campo magnético asociado con un solenoide ideal.
47. Cálculo de la energía potencial magnética almacenada en el campo magnético asociado con un toroide.
48. Cálculo de las densidades de energía almacenadas en la región donde esté instaurado un campo magnético asociado con un solenoide ideal y con un toroide. Analizar las variaciones que se producen para estas entidades en los casos reales.
49. Calcular la intensidad de la corriente de desplazamiento que circula por el conductor en un circuito en el cual se tiene un capacitor plano cargado con una carga eléctrica inicial tal que la diferencia de potencial inicial entre las armaduras es conocida, sin dieléctrico en su interior, que se descarga a través de un resistor. No desprecie los efectos de borde.
50. Calcular el vector Densidad de Corriente de Desplazamiento si se conoce la dependencia del campo vectorial Intensidad de Campo Eléctrico con el tiempo en cada punto de una región dada.
51. Para la misma situación de la situación número 1, pero despreciando los efectos de borde, calcular el módulo del vector B en el espacio entre las armaduras del capacitor. Considere que el capacitor tiene placas circulares muy grandes.
52. Encontrar la forma de la dependencia del campo vectorial B si se conoce la dependencia explícita con el tiempo del campo vectorial E.
53. Como para el caso anterior, pero suponiendo que la dependencia con el tiempo del campo vectorial E es del tipo que viene descrito por una función seno o coseno de la fase (wt + a), donde w es la frecuencia angular de las oscilaciones de E y a es la llamada fase inicial.
54. Calcular el rango de longitudes de las ondas asociadas a los electrones de conducción con valores del módulo del vector de onda entre 0 y k_F.
    Sugerencia: tome en cuenta la relación de D'Broglie.
55. Demuestre que la función de distribución de probabilidades f(e) de Fermi – Dirac toma para el cero absoluto de temperatura, los valores: 1 para < F y 0 para > F (función paso) y que para cualquier otra temperatura la función toma el valor ½ en = F. Haga una interpretación física de estos resultados.
    Sugerencia: investigue la forma de la función de probabilidades y luego aplique los métodos que Ud. conoce para el análisis de funciones.
56. Demuestre que la función de distribución de probabilidades de Fermi – Dirac es simétrica con respecto al punto (eF,1/2). Calcular, para temperaturas distintas del cero absoluto, el intervalo de energía, por encima de e_F hasta que la función se haga cero. Haga una interpretación física de estos resultados.
    Sugerencia: investigue la forma de la función de probabilidades y luego aplique los métodos que Ud. conoce para el análisis de funciones.
57. Calcular la energía entregada por un electrón a la red, en forma de ondas de red (fonón) si tal electrón, en el modelo del electrón libre, realiza una transición desde el estado electrónico con el vector k igual a k+dk tal que su módulo sea mayor que el de k_F hasta un estado con vector k con módulo menor que el de k_F.
    Sugerencia: evalúe las energías, según ese modelo electrónico y por diferencia, según establece la ley de conservación y transformación de la energía, se puede hacer el cálculo pedido. Justifique que este cálculo se puede hacer de esta forma y lo que sucede con la colisión con la imperfección o con la onda de red.
58. Estudiar el caso de N resitores en serie desde el punto de vista de la obtención de la expresión para el cálculo de la resistencia del resistor equivalente y desde el punto de vista de la potencia disipada por todos los resistores en serie y la potencia disipada en el resistor equivalente.
    Sugerencia: considere desde el punto de vista de los valores de la diferencia de potencial o de la intensidad de la corriente, el significado de encontrarse los N resistores en serie o en paralelo.
59. Igual a la anterior, pero para el caso de N resistores en paralelo.
    Sugerencia: considere desde el punto de vista de los valores de la diferencia de potencial o de la intensidad de la corriente, el significado de encontrarse los N resistores en serie o en paralelo.
60. Analizar la metodología para la sustitución de tres resistores en "delta" por otros tres resistores en "estrella".
    Sugerencia: investigue qué son esas dos conformaciones de circuitos: "delta" y "estrella" y luego aplique las leyes que Ud. conoce para resolver circuitos.
61. Calcular los centros de cargas positivas y negativas en dieléctricos para los cuales se pueda considerar que las unidades estructurales que puedan tomarse como esféricas tienen las respectivas densidades de carga constantes. Analizar el caso en que las densidades de carga sin ser constantes mantienen una simetría esférica. Analizar en ambos casos sí se trata de dieléctricos polares o apolares.
    Sugerencia: note que en el primer caso las densidades pueden salir de las correspondientes integrales y en el segundo caso la integral se puede transformar en una integral por el diferencial dr.
62. Obtener las condiciones de frontera entre dos dieléctricos para el vectores D y E, para sus componentes normales.
    Sugerencias: aplique las Ley de Gauss en términos de D para obtener las condiciones de frontera para las componentes normales de ambos vectores (primero de D directamente de la aplicación de la ley y luego por la relación entre esos dos vectores para dieléctricos homogéneos, isótropos y lineales, para las componentes normales de E). Tome en cuenta que se puede tomar una superficie gaussiana que tenga una zona en un dieléctrico y otra en el otro y que las partes que estén en ambos dieléctricos pueden ser llevadas a tener un área nula por un proceso al límite.
63. Obtener las condiciones de frontera entre dos dieléctricos para el vectores D y E,   para sus componentes para las componentes tangenciales.
    Sugerencias: Para obtener las condiciones de frontera para las componentes tangenciales de ambos vectores aplique el hecho debido al carácter conservativo del campo electrostático de que la circulación del campo vectorial Intensidad del Campo Electrostático es nula y tome en cuenta que las partes de las trayectorias que estén comprendidas en ambos dieléctricos pueden ser reducida a tener una longitud nula por un proceso al límite.
64. Calcular la capacitancia de los capacitores planos sin dieléctrico entre sus armaduras o con uno o dos dieléctricos. Para los casos con dieléctricos que estos llenen todo el espacio entre las armaduras. Para los casos de dos dieléctricos suponga que ellos están en las dos disposiciones siguientes:
    
    Sugerencias: aplique la Ley de Gauss en términos de D, tome en cuenta las condiciones de fronteras según el caso y tan pronto como tenga E para las distintas regiones de interés, calcule la diferencia de potencial entre las armaduras y a partir de la definición de la capacitancia puede calcularla. Para el caso de un solo dieléctrico entre las armaduras y que llene todo el espacio no será necesario aplicar las condiciones de fronteras. En caso del capacitor en el vacío sale como un caso particular del caso de un solo dieléctrico.
65. Idem a la anterior, pero para el caso de los capacitores esféricos.
    Sugerencias: como las del caso anterior, pero tomando en cuenta que las dos configuraciones para situar los dieléctricos son como se muestra en figura:
    
66. Idem a la anterior, pero para el caso de los capacitores cilíndricos.
    Sugerencias: como en los casos anteriores, pero debe tomarse en cuenta que las dos configuraciones para los casos de dos dieléctricos son tales que la misma figura de la situación anterior representa un corte transversal en el capacitor cilíndrico.
67. Si se tienen dos capacitores: uno aislado y el otro conectado a un generador de fem a través de un resistor, analizar los cambios que se producen al introducir un dieléctrico entre las armaduras de dichos capacitores sobre las magnitudes siguientes: la capacitancia; la carga del capacitor; la diferencia de potencial entre las armaduras; los valores del módulo del vector E y la energía potencial almacenada en el campo electrostático asociado con el capacitor cargado.
    Sugerencias: construya dos tablas comparativas para ambos casos: capacitor aislado y capacitor conectado y en cada una de ellas establezca una comparación de estas magnitudes para los casos del vacío entre las armaduras y con un dieléctrico entre ellas.
68. Obtener la forma de las ecuaciones que describen las ramas de las características voltio – ampéricas.
    Sugerencia: analice todas las contribuciones a la intensidad de la corriente, tanto para la polarización directa como inversa y además recuerde que la corriente debida al movimiento de los portadores mayoritarios es proporcional a la densidad de estados y de esta última se conoce la dependencia con la temperatura y con la energía de los electrones.
69. Obtener la dependencia de la resistencia que ofrece el diodo semiconductor al paso de la corriente directa en el caso de la polarización directa con el potencial aplicado y con la temperatura. Realice ese mismo análisis para la polarización inversa antes de al avalancha.
    Sugerencia: investigue cómo si se tienen las formas de ambas ramas de la característica voltio – ampérica se puede llegar a obtener una expresión en cada caso para la resistencia de diodo.
70. ¿Cómo se puede llegar a calcular el valor de la intensidad de la corriente de saturación a partir de los datos de curva voltio – ampérica y cómo se puede llegar a predecir el valor de corriente para la polarización inversa?
    Sugerencia: compare las dos ramas de la característica voltio – ampérica y recuerde que se rigen por al misma ecuación y que solo se diferencian en el signo de tales intensidades de corriente.
71. Obtener las condiciones de frontera para las componentes tangenciales de los campos vectoriales B y H en los puntos sobre la superficie de separación entre dos materiales cuyo comportamiento magnético sea lineal, homogéneo e isótropo.
    Sugerencias: aplique la Ley de Ampere – Maxwell en términos del campo vectorial H en un contorno de integración rectangular que se extienda a las dos regiones de dos materiales diamagnéticos o paramagnéticos y luego haga tender a cero la longitud de los segmentos que atraviesan la frontera.
72. Obtener las condiciones de frontera para las componentes normales de los campos vectoriales B y H en los puntos sobre la superficie de separación entre dos materiales cuyo comportamiento magnético sea lineal, homogéneo e isótropo.
    Sugerencia: semejante a la anterior, pero en este caso la ley da aplicar es la ley de ausencia de carga magnética aislada y lógicamente el contorno de integración será una superficie cerrada en forma adecuada y luego se aplicará el correspondiente proceso al límite.
73. Calcule los vectores B, H y M en las distintas regiones de en el interior de un solenoide ideal que contenga en su interior dos materiales lineales, homogéneos e isótropos, tal y como indica la figura.
    
    Sugerencia: aplique la ley de Ampere – Maxwell en término H en un contorno rectangular que tenga un segmento paralelo al eje del solenoide y que pase este segmento por los materiales y tome en cuenta los sectores donde la contribución a la circulación de H se anula y las condiciones de frontera para los vectores correspondientes. Además debe trabajar con la correspondiente relación de constitución y sus simplificaciones para el caso de los materiales lineales, homogéneos e isótropos.
74. Calcule la inductancia del solenoide ideal que tiene un material diamagnético o paramegnético que llene todo el espacio entre las espiras.
    Sugerencia: siga las ideas de la situación problémica anterior, pero tome en cuenta que se trata de un solo material y que su propósito es calcular la inductancia, por lo que debe recordar la definición de tal característica de un solenoide.
75. Estudiar el caso de los imanes permanentes y demostrar el efecto de entubamiento de las líneas de B que puede efectuar un cuerpo construido de un material de ese tipo. Si el valor del módulo del vector B es B₀ en puntos muy próximos al polo norte de un imán permanente, pero por fuera del imán; estime cuento será el valor de ese módulo en el puntos próximos a ese polo, pero por dentro del imán.
    Sugerencia: analizar la Segunda Relación de Constitución y los valores de la constante magnética de cada material considerando al aire o al vacío como un material dado.
76. Dar una interpretación a cada ecuación de Maxwell por separado y analizar el sistema como un todo. Deben incluirse en este análisis las relaciones de constitución otras ecuaciones necesarias.
    Sugerencia: analice tanto las formas integrales como las diferenciales. En estos análisis debe prestar atención sobre la comprensión más profunda del significado de las ecuaciones por separado y como sistema. Además debe indicar los límites de aplicación de las mismas.
77. Analizar los mecanismos de aportación de energía a resistores desde el campo electromagnético asociado con la instauración de una corriente eléctrica a través del resistor.
    Sugerencia: analice los mecanismos de instauración del campo electromagnético asociado con el paso de una corriente eléctrica por un resistor y luego trabaje analizando el vector de Poynting.
78. Encontrar de qué parámetros de la onda electromagnética plana depende la energía promedio que transporta la onda por unidad de tiempo y por unidad de superficie transversal a la dirección de propagación de la onda y cómo es esta dependencia.
    Sugerencia: estudie estas relaciones a partir de la densidad de energía en el campo electromagnético.
79. Calcular parámetros de una onda electromagnética si se conocen los valores de otros parámetros. Escribir la función de la onda plana en términos de distintos juegos de estos parámetros.
    Sugerencia: estudie las relaciones entre los distintos parámetros de una onda plana y luego trate de establecer la cantidad mínima estos parámetros a conocer para llegar a conocerlos todos.
80. Calcular la frecuencia que deben tener las ondas para lograr la comunicación con un submarino desde tierra.
    Sugerencia: establezca de que magnitudes podrá dependen la profundidad de penetración de las ondas electromagnéticas en el agua de mar.
81. Hallar las relaciones de valor entre los ángulos de polarización total de un dióptrico (son dos valores distintos en dependencia desde cual de los dos medios incide la luz sobre el dióptrico) y el ángulo límite para la reflexión total interna (esto tiene un solo valor para un dióptrico dado)
    Sugerencia: recuerde que el ángulo límite para la reflexión total interna es el mínimo valor del ángulo de incidencia para el cual toda la luz incidente se refleja y no hay rayo refractado. Este fenómeno solo se puede producir cuando la luz incide sobre el dióptrico desde el medio de mayor índice de refracción, medio del que se dice que es el más denso ópticamente.
82. Analizar, aplicando el Principio de Huygens, la propagación de los rayos ordinarios y extraordinarios al incidir luz desde un medio no birrefringente sobre un cristal birrefringente.
    Sugerencia: tome en cuenta si el cristal es positivo o no; la orientación del eje óptico y si la incidencia es inclinada. Suponga que en todos los casos la luz incidente es no polarizada. En todos los casos determine las secciones principales del cristal para ambos rayos y establezca cuál es el plano en que vibra el vector óptico para ambos rayos.
83. Calcular la intensidad de la luz emergente de un grupo de N filtros polarizadores dicróicos paralelos y que cada uno tiene el eje de transmisión formando un ángulo q, siempre rotando hacia el mismo lado, con el eje de transmisión del filtro anterior. Suponga que la luz incidente es luz no polarizado y tiene una intensidad I₀.
    Sugerencia: debe aplicar la Ley de Malus filtro a filtro y no dar "saltos".
84. Analizar el cumplimiento de la Ley de Malus para las reflexiones de Brewster en los dióptricos.
    Sugerencia: recuerde que el rayo reflejado con el ángulo de Brewster está linealmente polarizado de tal forma que su vector óptico vibra en un plano perpendicular al plano de incidencia en el dióptrico. Si luego este rayo se hace incidir sobre otro dióptrico con el ángulo de Brewster, el ángulo que forman el plano de vibración del vector E y el plano de incidencia en ese otro dióptrico debe influir en la intensidad del rayo reflejado.
85. Establezca un método para utilizando la Ley de Brewster determinar el índice de refracción de distintas sustancias.
    Sugerencia: debe analizar qué ocurre cuando la luz que incide sobre un dióptrico con el ángulo de polarización total es luz linealmente polarizada y tiene un plano de vibración de su vector óptico que es paralelo al plano de incidencia.
86. Estudiar los sistemas formados por un filtro polarizador dicróico, una lámina retardadora y un filtro polarizador dicróico en funciones de analizador.
    Sugerencia: realice este estudio desde el punto de vista de la intensidad de la luz en cada punto de la dirección de propagación del rayo de luz entre los distintos dispositivos y del estado de polarización de la luz en cada uno de esos puntos. Considere que las láminas retardadoras son ideales en el sentido que la absorción de la luz en ellas es despreciable. Considera luego a posibilidad de que entre los dos filtros polarizadores de entrada y salida exista más de una lámina.
87. Se dispone de tres láminas iguales en apariencia. Una es un filtro gris por absorción de la luz, otra es un filtro polarizador dicróico y la lámina retardara no ideal (en el sentido que ella presenta una determinada absorción de la luz). Idee experimentos para distinguirlas. Suponga que dispone de una fuente de luz no polarizada y de un par de filtros polarizadores dicróicos.
    Sugerencia: forme un sistema óptico que le permita utilizar los dos filtros de que dispone en funciones de filtro polarizador como tal y de analizador.
88. Suponga que dispone de una lámina retardadora que tiene un espesor variable en forma continua. Estudie la sucesión de los estados de polarización de la luz en los puntos intermedios entre los dispositivos al colocar esta lámina entre dos filtros polarizadores dicróicos cuyos ejes de transmisión sean paralelos, al ir aumentado el espesor de la lámina retardadora. Indique qué ocurre con la intensidad de la luz en esos puntos.
    Sugerencia: recuerde que al variar el espesor de la lámina esta va cambiando de tipo de lámina. Por otro lado tome en cuenta la orientación del eje óptico de la lámina relativa a los ejes de transmisión de los filtros dicróicos y considere que el eje óptico de la lámina forma un ángulo de 45º con los ejes de transmisión de los filtros polarizadores.
89. Se desea saber cuál es la orientación del eje óptico de una lámina retardadora. Diseñe un experimento para ello. Demuestre pueden existir dos direcciones posibles y que entre ellas forman un ángulo de 90º. Cómo podría resolverse esa ambigüedad.
    Sugerencia: trate de colocar la lámina entre de dos filtros polarizadores y establecer una secuencia de cambios para que al producirse resultados conocidos desde el punto de vista teóricos en cuanto al estado de polarización de la luz y de las intensidades, se pueda indagar sobre las posibles orientaciones del eje óptico de la lámina. Tome en cuenta que se sabe que eje óptico es paralelo a la superficie de la lámina por donde incide normalmente la luz.
90. Estudie, utilizando el llamado Principio de Reversibilidad que establece que si luz incidiera sobre un determinado sistema óptico en el sentido contrario, debe obtenerse una haz de luz con las mismas características del rayo que antes incidía, qué resultados se tendrán al incidir sobre una lámina de cuarto de onda luz circular y elípticamente polarizadas.
    Sugerencia: aplique este principio y para el caso de la luz elípticamente polarizada estudie cómo influye el ángulo que forman los semiejes de la elipse que describe la proyección del extremo del vector E sobre un plano frontal a la dirección de propagación con el eje óptico de la lámina de cuarto de onda.
91. Calcular la intensidad de la luz en un punto cualquiera del patrón de interferencia obtenido en un dispositivo de Young.
    Sugerencia: utilizando la expresión para la intensidad de la luz en el patrón de interferencia del dispositivo de Young, exprese la diferencia de fase en términos de la localización de un punto en la pantalla donde se recoge el patrón.
92. Explicar porque el fenómeno de la interferencia de dos haces coherentes al hacer que en los puntos de máxima intensidad de la luz para el caso en que I₁ = I₂, la intensidad de la luz sea igual a 4 veces la que habría en ese mismo punto si no se produjera la interferencia.
    Sugerencia: realice un balance total de la energía, tomando en cuenta todos los puntos del patrón.
93. Calcular el espaciamiento entre detalles homólogos contiguos en el patrón de interferencia del dispositivo de Young. Calcular la posición lineal y angular de cualquier detalle de patrón en este dispositivo. Diseñar una regla graduada con auxilio de este dispositivo.
    Sugerencia: mediante las condiciones de máxima y mínima intensidad y con las relaciones geométricas que se producen en este tipo de dispositivo, investigue cómo calcular las magnitudes que se piden. Tome en cuanta en cada caso la definición de estas magnitudes. Para el diseño piense en que Ud. puede controlar la separación entre los detalles homólogos del patrón.
94. Calcular la diferencia de camino óptico de los rayos que se superponen en el centro de la pantalla en el dispositivo de Young si una de las rendijas se cubre con una lámina de espesor h y constituida de un material dieléctrico transparente de índice de refracción n.
    Sugerencia: calcule esta diferencia de camino óptico sabiendo que después de atravesar la lámina que se ha colocado en una de las rendijas, los rayos que van a caer en el punto central de la pantalla no acumulan más diferencia de camino óptico sí en todo ese recorrido, para ambos rayos, en medio es el mismo y sí este medio es homogéneo.
95. Calcular el radio de los anillos de Newton para todos los casos posibles de relaciones de valor entre los índices de refracción de los tres medios involucrados. Considere que la incidencia es normal y que los anillos se obtienen por reflexión. Señale si se trata de franjas de igual espesor o igual inclinación y justifique.
    Sugerencia: obtenga las expresiones para el cálculo de los radios de los anillos de Newton relacionando el radio de cada anillo con el espesor sustentado por la lámina que se forma debajo de la lente plano convexa y los posibles cambios de fase en las reflexiones para las relaciones de valor entre los correspondientes índices de refracción de los medios involucrados.
96. Calcule la densidad lineal de las franjas completas en el patrón que se obtiene sobre la superficie de una cuña uniforme, por reflexión, suponiendo que la incidencia de la luz es normal. Estudie si en extremo de la cuña se forma un máximo o un mínimo de intensidad y para ello tome en cuenta todos los casos posibles de las relaciones de valor entre los índices de refracción de los tres medios involucrados.
    Sugerencia: puede obtener la ecuación de trabajo después de construir su hipótesis de trabajo o trabajar directamente con la ecuación obtenida en lo que se discute en este libro. Para investigar lo que ocurre en el extremo de la cuña, tome en cuenta las correspondientes condiciones de máxima y mínima intensidad de la luz para todos los casos posibles.
97. Estudie el caso de que la cuña sea iluminada con luz blanca (todo el espectro visible, esto es desde 400 hasta 700 nm) e investigue si pudiese ocurrir solapamiento entre los órdenes consecutivos para los espectros completos en este rango de longitudes de onda.
    Sugerencia: trate de calcular si en algún orden la posición sobre la cuña de último detalle de espectro completo es menor que la del primer detalle del espectro del orden consecutivo.
98. Calcular cuántos serían los anillos de Newton se harán visible en un dispositivo dado y para una luz cuasi monocromática con un ancho de banda Dl alrededor de la longitud de ondas central l.
    Sugerencia: relacione el concepto de longitud de coherencia con el espesor sustentado por cada anillo que se produce el fenómeno de la interferencia por reflexión y estudie la conexión con el radio de los anillos.
99. Calcular mediante la suma fasorial gráfica la amplitud resultante en un punto P por delante de la abertura y situado en el eje que para pasa por el centro de al abertura en el caso de la difracción de Fresnel por una abertura circular. Investigar la forma de la llamada curva de vibración.
    Sugerencia: estudie cómo dividiendo cada zona de Fresnel en sub zonas tales que la diferencia de camino óptico entre los rayos que se difractan desde los puntos de la fronteras entre estas sub zonas sea igual p entre la cantidad de sub zonas en la que subdividió cada zona de Fresnel.
    Construya la gráfica para ejecutar la suma fasorial de las contribuciones de cada sub zona tomando en cuenta la diferencia de fase entre los rayos que son emitidos desde cada sub zona y que por la disminución del coeficiente de oblicuidad los módulos de estas contribuciones van disminuyendo de una sub zona a la siguiente. Continúe la suma fasorial para las otras zonas de Fresnel y luego realice un proceso al límite cuando el número de sub zona en que sub divide cada zona de Fresnel tienda a infinito.
100. Utilizar el método algebraico para calcular la amplitud resultante en un punto P por delante de la abertura y situado en el eje que para pasa por el centro de al abertura en el caso de la difracción de Fresnel por una abertura circular en dependencia de la cantidad de zonas de Fresnel que se "ven" desde el punto P.
     Sugerencia: realice la suma algebraica de las contribuciones de cada zona de Fresnel tomando en cuenta que las que estén en oposición de fase deben entrar en esa suma con signos cambiados. Luego sustituya cada contribución o sumando por la suma de dos mitades de esa contribución y agrupando convenientemente puede llegar al resultado final.
101. Obtener las condiciones de máxima y mínima intensidad para la difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular.
     Sugerencia: aplique los criterios de la primera y segunda derivada para hallar los extremos del factor de difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular. Estudie con cuidado el caso del centro del patrón.
102. Calcular las intensidades relativas de los máximos de la difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular.
     Sugerencia: evalúe la correspondiente función para los valores de alfa para los cuales ocurren los máximos y divida esa intensidad por la del máximo central.
103. Establecer las condiciones de infinitud de la pantalla y de coincidencia espacial de máximos principales de interferencia con mínimos de difracción.
     Sugerencia: se trata de encontrar cuáles son los valores máximos posibles de los órdenes de los máximos principales de interferencia múltiple y de los mínimos de difracción (máximo valor de m_i y máximo valor de m_d) considerando que la pantalla es infinita. Además imponiendo la condición de que las posiciones angulares de algunos máximos principales de interferencia múltiple y de algunos mínimos de difracción sean iguales se obtiene una determinada relación entre el periodo de la red y el ancho de cada abertura que es conocida como la condición de coincidencia espacial de estos dos tipos de detalles del patrón.
104. Establecer el solapamiento posible de un orden del patrón de interferencia múltiple con el patrón del orden siguiente para el caso en que la red esté iluminada con luz blanca (400 a 700 nm).
     Sugerencia: estudie sí la posición angular correspondiente a la luz del extremo de mayor longitud de onda en el rango de longitudes de onda de la luz blanca para una orden dado tendrá una posición angular superior a la posición angular del máximo del siguiente orden para el otro extremo del rango de variación de las longitudes de onda de la luz blanca. Esto debe llevarlo a una ecuación cuya solución es el orden del solapamiento sí es que este existe para algún orden.
105. Estudiar los cambios que se producen en el patrón resultante de una red de difracción al variar las características óptico – geométricas de la red y las características de la luz incidente.
     Sugerencia: considere todos los cambios de las magnitudes N, d y b como las características geométricas de la red; del índice de refracción del medio en el cual está inmerso todo el dispositivo como las características ópticas de la red y la composición de longitudes de onda de la luz incidente como las características de la radiación incidente. Para analizar todos estos cambios consulte todas las ecuaciones que describen los dos fenómenos ópticos que se producen al pasar la luz por una red de difracción con las condiciones de iluminación de Fraunhofer.
106. Realizar la representación gráfica de la dependencia de la intensidad de la luz en el patrón resultante si se conocen las características óptico – geométricas de la red y la longitud de onda de la luz incidente cuando esta es monocromática y discutir cómo realizar la tarea inversa de hallar todas las magnitudes posibles o las relaciones entre ellas sí se conoce este tipo de gráfica para una red dada.
     Sugerencia: el problema directo se resuelve por aplicación de las expresiones que describen los fenómenos ópticos que se producen en la red y además las condiciones de coincidencia espacial de picos de interferencia con mínimos de difracción y la condición de infinitud de la pantalla y en el caso del problema inverso se trata de extraer la información necesaria para aplicando esas mismas condiciones y ecuaciones llegar a describir la red.
107. Calcule la dispersión lineal de una red de difracción. Obtenga la relación entre el poder separador y la dispersión angular de una red.
     Sugerencia: la dispersión lineal de una red se define en forma semejante a como se define la dispersión angular, pero en vez de ser la derivada de la posición angular con respecto a la longitud de onda de los picos, se trata de la derivada de la posición lineal con respecto a la longitud de onda de los picos. Para la segunda parte considere una magnitud definida como el ancho del rayado de la red que se "ve" con una dirección que forma un ángulo q con respecto a la normal a la red y que es Ndcosq.
108. Diseñe una red para estudiar los espectros de los metales alcalinos. Tome en cuenta la precisión escalar del goniómetro del que dispone.
     Sugerencia: para hacer este diseño tome en cuenta el poder separador que tiene que tener la red para resolver el doblete de menor variación entre las dos longitudes de onda de los que característicos de los metales alcalinos. Además estime el valor mínimo que ha de tener la dispersión en el entorno de cada uno de esos dobletes para que con el goniómetro disponible se puedan leer las posiciones angulares de esos dos picos.
109. Estudie cómo varían la dispersión angular y el poder separador de una red al variar el número de rendijas iluminadas y manteniendo constante el diámetro del haz con que se ilumina la red.
     Sugerencia: utilice las dependencias entre el poder separador de la red y su dispersión angular con N y con d respectivamente.
110. Calcule cómo varia la dispersión angular de una red en mismo orden en los extremos del espectro de la luz blanca (400 a 700 nm).
     Sugerencia: puede aplicar el criterio de la derivada para estudiar cómo varía D_q con l este rango y para el orden dado.