Física atómica : Función de onda

Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar,  España.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

En el capítulo Movimiento Ondulatorio vimos que una onda luminosa o mecánica al atravesar la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades ópticas o mecánicas, una parte se refleja y otra se transmite. La proporción de la intensidad de la onda incidente que se transmite se denomina coeficiente de transmisión, y la proporción de la intensidad de la onda incidente que se refleja se denomina coeficiente de reflexión.

Cuando una partícula atraviesa la frontera entre dos regiones de distinto potencial, no se divide en dos (lo que confirma que una partícula no es una onda clásica), sino que bien puede reflejarse o bien transmitirse. No podemos predecir de antemano la conducta de una partícula individual, sino la mayor o menor probabilidad de que se refleje o se transmita.

Descripción

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una región unidimensional cuya energía potencial viene descrita por la función E_p(x) es

Donde E es la energía total de la partícula de masa m

La solución de la ecuación de Schrödinger Y(x) se denomina función de onda.

La probabilidad de encontrar la partícula descrita por dicha función de onda en el intervalo x, x+dx es |Ψ(x)|²·dx. Naturalmente,

En otras palabras, la probabilidad por unidad de longitud (o densidad de probabilidad) de encontrar la partícula en x es |Ψ(x)|² .

Si tenemos N partículas idénticas, N·|Ψ(x)|² , nos dará el número de partículas que hay en la unidad de longitud. Si todas las partículas se mueven con la misma velocidad v, el flujo de partículas será N·v|Ψ(x)|² . Se denomina densidad de corriente de probabilidad a la cantidad J=v|Ψ(x)|² que es el producto de la velocidad de las partículas por la densidad de probabilidad.

Partícula libre

El caso más simple es el de una partícula libre. La energía potencial E_p(x)=0

La ecuación de Schrödinger se escribe

Ecuación diferencial análoga a la de un movimiento armónico simple, su solución la expresaremos de otra forma equivalente

Escalón de potencial

El escalón de potencial consiste en una región x<0 en la que la energía potencial es nula, seguida de una región x>0 en la que la energía potencial es constante y de valor E₀.

La función E_p(x) presenta por tanto, una discontinuidad en x=0.

Se pueden presentar dos casos

• Que la energía de la partícula sea mayor que la del escalón E>E₀.
• Que la energía de la partícula sea menor que la del escalón E<E₀.

En este apartado trataremos el primer caso, dejando el segundo caso, algo más complejo, para el siguiente.

Planteamos la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución de forma semejante al de la partícula libre. En la siguiente tabla se resumen los resultados.

Región x<0, Ep(x)=0	Región x>0, Ep(x)=E0

En el punto x=0, la función de onda Y debe ser continua y también lo debe ser su derivada primera.

Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permiten expresar los coeficientes B y C en función del coeficiente A.

Veamos ahora el significado físico de los distintos términos de la solución de la ecuación de Schrödinger. En la primera región x<0 tenemos partículas incidentes y reflejadas, pero en la segunda región x>0 solamente tenemos partículas transmitidas. La función de onda tiene dos términos en la primera región y un solo término en la segunda.

Partículas	Función de onda	Probabilidad	Flujo
incidentes
reflejadas
transmitidas

Se denomina coeficiente de reflexión a la proporción de partículas incidentes que se reflejan

Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de partículas incidentes que se transmiten.

Como puede fácilmente comprobarse R+T=1

Podemos ver aquí, una analogía con el movimiento ondulatorio, una onda incidente al atravesar dos medios de distinta naturaleza (densidad, índice de refracción, etc., dependiendo del tipo de onda) da origen a una onda reflejada que se propaga en el primer medio, y a una onda transmitida que se propaga en el segundo medio.

Considere para el applets que:

Uno considera N átomos que forman un cristal en una dimensión. El  total de cargas forman un potencial periódico: para partir de un centro, los electrones deben superar un potencial de altura V. Cada centro está en el centro de un bien de potencial de anchura infinito limitado  por dos valores de potencial de altura V y anchura de b.
Uno pone l = a + b  y  k es la función solución de la ecuación de Schrödinger. E  es la energía del electrón y m la masa.
Uno pone el q2 = 2mE/h2 y p2 = 2m(V - E)/h2
Uno demuestra que:
cos(kl) = cos(qa)ch(pb)+½(p/q-q/p)sin(qa)sh(pb) = Y(E).
Las únicas seguridades posible de la energía de E es esos esa hechura que del coseno del kl del producto se consiste entre +1 y -1. Las seguridades posible del formulario de energía tiras separadas por las tiras prohibidas autorizaron. El límite valora la energía de cada tira es determinado mientras determinando las seguridades de E por cuál tiene Y(E numéricamente) = ±1.