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El
oscilador armónico
amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad, tiene las
siguientes características esenciales:
-
La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo
-
El oscilador tarda un tiempo teóricamente infinito en
pararse
Sin embargo, el oscilador armónico amortiguado por una
fuerza de módulo constante, tiene las siguientes características:
-
La amplitud decrece una cantidad constante en cada
semioscilación
-
Se para al cabo de un tiempo finito
El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de
rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de
la
fuerza de rozamiento y diferenciar entre coeficiente de rozamiento
estático y dinámico. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero
su sentido es contrario a la velocidad del móvil.
Consideremos un bloque de masa m unidad a un
muelle elástico de constante k, que desliza sobre una superficie
rugosa. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son
respectivamente, μs y μk, con μs
≥ μk.
El origen O se toma como la posición de equilibrio del
muelle sin deformar. El bloque se suelta desde la posición x0
a la derecha del origen con velocidad inicial cero.
Vamos a estudiar el comportamiento del sistema desde el
punto de vista energético y a continuación, resolveremos las ecuaciones del
movimiento.
El
trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía total (cinética
más potencial del bloque).
Vamos a calcular las posiciones del bloque para las
cuales, su velocidad es cero. A estas posiciones se denominan de retorno, ya
que en ellas el bloque cambia el sentido de su movimiento, hasta que
finalmente se para. Como la velocidad en las posiciones inicial y final son
nulas, la ecuación del balance energético se escribe
Siendo Δx la distancia (positiva) entre las
posiciones inicial xi y final xf
-
Posición de partida x0
El bloque se mueve hacia la izquierda si la fuerza
que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento
estático μsmg. En caso contrario, el bloque permanece en
reposo. Supongamos que se cumple kx0≥ μsmg.
-
Posición x1
La ecuación del balance energético, se escribe
La ecuación del balance energético, se escribe
Supongamos que ocurre la primera situación x1<0,
tal como se muestra en la figura
-
Posición x2
El móvil parte de x1 con velocidad
inicial nula siempre que se cumpla que k|x1|≥ μsmg,
en caso contrario la posición x1 será la final del
bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.
La ecuación del balance energético, se escribe
La ecuación del balance energético, se escribe
Supongamos que ocurre la primera situación x2>0,
tal como se muestra en la figura
-
Posición x3
Se calcula como la posición x1. Si
x3 está en el mismo lado que x2, x3
sería la posición final del bloque.
Resumen
-
El bloque permanece en reposo si
| xn
|< 2μsmg/k
-
Cuando el bloque cruza el origen,
| xn
|> 2μkmg/k, la posición inicial
xn y final xn+1 están a un
lado y a otro del origen
-
Cuando el bloque no cruza el origen,
| xn
|< 2μkmg/k, la posición inicial
xn y la final xn+1 están del
mismo lado
Ejemplo 1:
Sea k =50, m=1, μk=0.7,
y μs=0.75
La posición de partida es x0=0.7 con
velocidad inicial nula
Verificamos que el bloque no permanece en reposo kx0≥
μsmg, 50·0.7>0.8·1·9.8
Calculamos la posición x1
que está a la izquierda del origen.
Verificamos que el bloque no permanece en reposo
k|x1|≥ μsmg, 50·0.4256>0.75·1·9.8
Calculamos la posición x2
que está a la derecha del origen.
Verificamos que que el bloque no permanece en reposo kx2≥
μsmg, 50·0.1512>0.75·1·9.8
Calculamos la posición x3
Como x3 está a la derecha del origen,
es la posición final del bloque.
Ejemplo 2:
Si el coeficiente estático es μs=0.8
No se cumpliría la condición kx2≥
μsmg, por lo que la posición final en reposo, sería x2=0.1552
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Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0),
la ecuación del movimiento es
ma=-kx+ μkmg,
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Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0),
la ecuación del movimiento es
ma=-kx- μkmg,
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Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de
ecuación diferencial
Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la
ecuación
diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la
homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)
en la ecuación diferencial
(k/m)C=±μkg,
C=±μkmg/k
La solución completa de cada una de las ecuaciones
diferenciales es
como puede comprobarse por simple sustitución
La velocidad del bloque es en ambos casos es
Las constantes A y φ
se determina a partir de las condiciones iniciales
-
Movimiento hacia la izquierda v<0
El bloque se encuentra en la posición x0, se moverá hacia la izquierda (v<0) si
la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de
rozamiento estático μsmg. En caso contrario, el bloque
permanece en reposo. Supongamos que se cumple kx0≥ μsmg.
La ecuación del movimiento es
x=A1cos(ωt+φ)+μkmg/k
Las condiciones iniciales son: en el instante t=0,
la velocidad v=0, y la posición es x=x0.
x0=A1cosφ+μkmg/k
0=A1ω·senφ
Tenemos que φ=0 y A1=x0-μkmg/k
La posición del bloque en función del tiempo se escribe
x=A1cos(ωt)+μkmg/k
El bloque se para momentáneamente en la posición x1
cuando v=0
La velocidad se anula en el instante t, cuando
ωt=π. La posición del bloque en este instante es
x1=-A1+μkmg/k
=-x0+2μkmg/k
que es el mismo resultado que hemos obtenido en el
apartado anterior
-
Movimiento hacia la derecha v>0
El bloque se mueve hacia la derecha (v>0)
siempre que se cumpla que k|x1|≥ μsmg .
En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple k|x1|≥ μsmg
La ecuación del movimiento es ahora
x=A2cos(ωt+φ)-μkmg/k
Las condiciones iniciales son: en el instante ωt=π,
la velocidad v=0, y la posición es x1.
x1=A2cos(π+φ)-μkmg/k
0=A2ω·sen(π+φ)
Tenemos que φ=0 y A2=-x1-μkmg/k=x0-3μkmg/k=A1-2μkmg/k
La posición del bloque en función del tiempo se escribe
x=A2cos(ωt)-μkmg/k
El bloque se para momentáneamente en la posición x2
cuando v=0
La velocidad se anula en el instante t, cuando
ωt=2π. La posición del bloque en este instante es
x2=A2-μkmg/k
=-x1-2μkmg/k
que es el mismo resultado que hemos obtenido en el
apartado anterior
Se continua el proceso, hasta que el bloque se detiene
El bloque tarda el mismo tiempo en describir cada
una de las oscilaciones. Su
periodo es
x=A2n-1cos(ωt)+μkmg/k,
n=1, 2..
x=A2ncos(ωt)-μkmg/k,
n=1, 2..
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El bloque describe un MAS cuya amplitud permanece
constante durante cada semiperiodo de la oscilación. La amplitud disminuye una cantidad constante 2μkmg/k
entre dos semiperiodos consecutivos
An+1=An-2μkmg/k
con A1=x0-μkmg/k
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La velocidad del bloque es
v=-An·ω·sen(ωt)
n=1, 2, 3,..
se hace cero en los instantes tn=n·π/ω
n=1, 2, 3,..
Ejemplo:
Sea k =50, m=1, μk=0.7,
y μs=0.75
La frecuencia angular ω=7.07 rad/s, y el periodo
P=0.89 s
La posición de partida es x0=0.7 con
velocidad inicial nula
-
Verificamos que kx0≥ μsmg,
50·0.7>0.8·1·9.8. El bloque se se mueve hacia la izquierda (v<0)
La amplitud de la primera semioscilación es A1=x0-μkmg/k=0.7-0.1372=0.5628
La posición del bloque en función del tiempo t
es
x=0.5628·cos(7.07·t)+0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.5628·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante
ωt=π, t=0.44
Calculamos la posición x1 en este
instante, x1=-0.5628+0.1372=-0.4256, que está a la
izquierda del origen.
-
Verificamos que k|x1|≥ μsmg,
50·0.4256>0.75·1·9.8, bloque se mueve hacia la derecha (v>0)
La amplitud de la segunda semioscilación es
A2=A1-2μkmg/k=0.5628-2·0.1372=0.2884
La posición del bloque en función del tiempo t
es
x=0.2884·cos(7.07·t)-0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.2884·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante
ωt=2π, t=0.89
Calculamos la posición x2 en este
instante, x2=0.2884-0.1372=0.1512, que está a la derecha
del origen.
-
Verificamos que kx2≥ μsmg,
50·0.1512>0.75·1·9.8. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0)
La amplitud de la tercera semioscilación es
A3=A2-2μkmg/k=0.2884-2·0.1372=0.014
La posición del bloque en función del tiempo t
es
x=0.014·cos(7.07·t)+0.1372
La velocidad del bloque es
v=-0.014·7.07·sen(7.07·t)
La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante
ωt=3π, t=1.33
Calculamos la posición x3 en este
instante, x3=-0.014+0.1372=0.1232, que está a la derecha
del origen, del mismo lado que la posición inicial x2.
Se introduce
-
El coeficiente estático de rozamiento μs
actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. estático
-
El coeficiente dinámico de rozamiento μk
actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. dinámico
-
El cociente k/m entre la constante elástica del
muelle y la masa del bloque, o cuadrado de la frecuencia angular ω,
en el control de edición titulado Cociente k/m
Se pulsa el botón titulado Inicio
Se debe cumplir que μs≥ μk
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento del bloque entre los puntos de
retorno, hasta que se para.
Se representa la posición del bloque en función del
tiempo.
-
Una flecha de color rojo, representa la fuerza que
ejerce el muelle
-
Una flecha de color azul, representa la fuerza de
rozamiento.
En la parte superior derecha del applet, se
proporcionan los datos de
En la parte izquierda del applet, se representa la
energía del bloque en forma de diagrama de barras.
-
En color rojo, la energía potencial elástica
-
En color azul, la energía cinética
vemos como la energía total disminuye continuamente a
causa del trabajo de las fuerzas de rozamiento.
Se sugiere al lector que calcule los puntos de retorno
en un caso concreto y los compare con los proporcionados con el programa
interactivo, siguiendo los pasos de los ejemplos..
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Oscilador amortiguado
por una fuerza cte.