Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
Circuito LCR. Oscilaciones libres
Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un muelle perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
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La ecuación del circuito es
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Como i=dq/dt, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural
Carga:
La solución de la ecuación diferencial es
q=Q·sen(w0t+j ),
donde la amplitud Q y la fase inicial j se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.
Intensidad:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
i=Q·w0 ·cos(w0t+j )
Energía:
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador más la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.
Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
- En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en forma de campo eléctrico.
- El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i=Q·w0
- La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
- Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
- La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
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Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
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En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es
Vab+Vbc+Vca=0
Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
donde la amplitud Q y la fase inicial j se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.
En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máxima del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
Cuando g =w0, entonces la frecuencia de la oscilación w =0, se denomina oscilación crítica
Cuando g >w0, entonces la frecuencia de la oscilación w es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas
- Críticas
- Sobreamortiguadas
Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .
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La ecuación del circuito es
Vab+Vbc+Vcd+Vda=0
Como i=-dq/dt, si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.