Tarea experimetal: En esta página vamos a estudiar el movimiento de una partícula de masa m, de carga q, inicialmente en reposo, sometida a la acción de un campo eléctrico E, y de un campo magnético B, ambos uniformes y perpendiculares entre sí.
Autor de Applet: Curso Física por Ordenador del autor: Profesor Ángel Franco García, de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Eibar, España.
Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje X, el campo eléctrico E la dirección del eje Y. Y el vector velocidad v está en el plano YZ, y sean las componentes de la velocidad inicial son v0y, v0z
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La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es Fe=q·E. La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es Fm=q·v´B |
La ecuación del movimiento de la partícula es
Las componentes de los vectores son
B (B, 0, 0)
E (0, E, 0)
v (0, v0y, v0z,)
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
(1)
Se denomina frecuencia de giro w es el cociente w =qB/m. Que como hemos visto es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.
Derivando las ecuaciones (1) respecto al tiempo convertimos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, en dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
La solución de la primera ecuación es la misma que la de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia w . La segunda ecuación diferencial tiene una solución similar, pero además tiene un término adicional en el segundo miembro por lo que hay que sumar a la solución general una particular. Se puede comprobar que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son
donde C1, C2, D1 y D2 son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Supongamos que en el instante t=0, las velocidades iniciales son v0y y v0z.
Las expresiones de vy y vz quedarán como sigue
Podemos integrar vy y vz respecto del tiempo, teniendo en cuenta que la partícula parte del origen y=0, z=0 en el instante inicial t=0.
Casos particulares
Examinaremos algunos casos particulares interesantes:
El selector de velocidades.
Supongamos que v0y=0. Para que la partícula no se desvíe (su trayectoria sea el eje Z) la velocidad inicial v0z tiene que tener el valor v0z=-E/B (cociente entre la intensidad del campo eléctrico y del magnético). Este es el fundamento de un selector de velocidades.
Curva cicloide
Cuando el ión parte del origen con velocidad nula v0z=0, v0y=0, las ecuaciones de la trayectoria de la partícula se simplifican notablemente
Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide generada por un punto del borde de un disco de radio R=E/(ωB) que rueda sin deslizar, girando alrededor de su eje con velocidad angular ω y cuyo centro se mueve con velocidad constante V=R·ω=E/B.
Movimiento relativo
Sea un sistema referencial R’ que se mueve con un movimiento de
traslación rectilínea y uniforme con velocidad V. La relación entre
la velocidad de la partícula cargada v en el sistema R y la velocidad
v’ en el sistema R’ es .
La ecuación del movimiento de la partícula en el sistema R’ será
Siempre es posible elegir V de modo que
la velocidad V se denomina velocidad de deriva V=E/B. La partícula en el sistema R’ describe un movimiento circular, bajo la única acción de la fuerza que ejerce el campo magnético.
Sea una partícula cargada que se mueve en una región donde hay campos cruzados. Si la partícula parte del reposo en el origen, el campo magnético no actuará sobre la partícula, resultará acelerada en la dirección del campo eléctrico. Cuando empieza a ganar velocidad empieza a actuar la fuerza que ejerce el campo magnético curvando la trayectoria de la partícula.
Como hemos visto la trayectoria de la partícula es la composición de dos movimientos uno de traslación del sistema R’ respecto de R y otro de rotación en el sistema R’, la velocidad de traslación se denomina velocidad de deriva. Este tipo de movimiento ha sido analizado en la discusión del movimiento general de un sólido rígido.
La velocidad de deriva V no depende de la carga de las partículas, por lo que los electrones derivan en la misma dirección que los iones positivos. Pero el movimiento de giro w de los electrones es opuesto al de las cargas positivas.
Ejemplos
Si v0y=0 y v0z=E/B la partícula se mueve a lo largo del eje Z sin desviarse. Hemos utilizado este resultado en la expresión de Thompson para medir la velocidad del haz de electrones. y en el selector de velocidades del espectrómetro de masas.
Pruébese los siguientes ejemplos con E/B=0.1 y w =2.
- v0y=0.0, v0z=-0.1
- v0y=0.1, v0z=-0.1
- v0y=0.2, v0z=-0.1
Curva cicloide
- v0y=0.0, v0z=0.0
Actividades
Se introduce los siguientes datos en los respectivos controles de edición:
- La relación entre el campo eléctrico y el magnético E/B, en el control de edición titulado c. eléctrico/c. magnético
- La frecuencia angular w, en el control de edición titulado Frecuencia angular
- La componente horizontal de la velocidad inicial v0y, en el control de edición titulado Velocidad Y
- La componente vertical de la velocidad inicial v0z, en el control de edición titulado Velocidad Z
Se pulsa el botón titulado Empieza
Observar el movimiento de la partícula cargada