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Commentaires :
L'onde associée à une particule est l'onde stationnaire
Y = Y0(x)sin(wt) dont la pulsation est liée à l'énergie par E =
h.w
et dont la carré de l'amplitude représente la probabilité de présence
:
dP = Y2(x).dx
Un oscillateur harmonique à une dimension correspond au potentiel
V= ½.kx2 (F = -kx).
La fonction d'onde Y(x) est solution de :
On montre que Y(x) = y(x)e-ax² et que pour obtenir une solution
convergente , y doit être un polynôme de degré N.
En utilisant la coordonnée réduite X = (mk)½x/h,
y(x) doit être solution de y'' - 2Xy' + 2Ny = 0. Les polynômes y(x) sont les
polynômes d'Hermite.
Le fait que y(x) soit un polynôme impose que les
valeurs possibles pour l'énergie sont données par :
La particule ne peut être au repos : son énergie
minimale est E = ½ h.w.
Pour un oscillateur harmonique classique, la probabilité de présence est maximale
pour les valeurs extrêmes de l'amplitude (vitesse nulle) et elle est
minimale pour une élongation nulle (vitesse maximale). Pour un oscillateur
quantique, les phénomènes sont très différents surtout pour les faibles
valeurs de N. Quand N augmente, on retrouve le fait que la probabilité de
présence est maximale au voisinage de
X0 = ±(2N + 1)½ . |