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Commentaires :
On considère un flux de particules de masse M et
d'énergie E qui arrive sur une barrière de potentiel de rectangulaire de
hauteur V et de largeur a. Il y a un flux de particules réfléchies et
contrairement au modèle classique, un flux de particules transmises. Ces
flux sont caractérisés par des ondes progressives de type Y = Y0sin(wt
- kx) (avec E = hw)
L'équation de Schrödinger s'écrit :
A droite de la barrière, la solution est de la forme :
Y = Acos(px).sin(wt) -Asin(px)cos(wt) = Y1 - Y2 =
A.sin(wt - px)
Si E < V Pour 0< x <a, la solution
est la somme Y3 - Y4 avec :
Y3 = [Beqx + Ce-qx].sin(wt) et Y4
= [Deqx + Ee-qx].cos(wt). La continuité de la
fonction d'onde et de sa dérivée pour x = a permet de déterminer les valeurs
des constantes B, C, D et E .
A gauche de la barrière la solution est la solution est la somme Y5
- Y6 avec :
Y5 = [Fsin(qx) + Gcos(qx)].sin(wt) et Y6 = [Hsin(qx)
+ Kcos(qx)].cos(wt). Vérifier que c'est la somme d'une onde progressive qui
se dirige vers la barrière (particules incidentes) et d'une onde progressive
qui s'en éloigne (particules réfléchies). La continuité de la fonction
d'onde et de sa dérivée pour x = 0 permet de déterminer les valeurs des
constantes F, G, H et K.
Les vitesses des particules incidentes et transmises étant identiques, le
rapport des flux transmis et incidents est égal au rapport du carré des
amplitudes des fonctions d'onde. Un calcul fastidieux conduit à :
Si l'on envoie 100 particules sur la
barrière, 100.T sont transmises et 100.(1-T) sont réfléchies.
Si E > V Pour
0< x <a, la solution est la somme Y3 - Y4 avec : Y3
= (Bsin(qx) + Ccos(qx)).sin(wt) et Y4 = (Dsin(qx) +
Ecos(qx)).cos(wt) avec cette fois :
q2 = 2M(E - V)/h2. La
continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée pour x = a permet de
déterminer les valeurs des constantes B, C, D et E . Comme dans le cas
précédent à gauche de la barrière la solution est la somme d'une onde
progressive qui se dirige vers la barrière (particules incidentes) et d'une
onde progressive qui s'en éloigne (particules réfléchies). Cette fois, le
rapport des flux transmis et incidents est égal à :
Dans la barrière, le nombre d'onde est q
= 2p/l. On peut noter que si qa = np (n entier) alors T = 1 : pour les
valeurs l = 2a/n, il y a résonance. |
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