La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.
Su unidad es (W·m-2)·m-1.
La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia f , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.
Su unidad es (W·m-2)·s.
El applet realiza una representación gráfica de esta función en escala doblemente logarítmica. La intensidad por unidad de frecuencia en el eje vertical, y la frecuencia en el eje horizontal, para las temperaturas que se indican en la parte izquierda del applet.
Se muestra la parte visible del espectro en el centro, a la izquierda la región infrarroja y a la derecha la región ultravioleta del espectro. Se han señalado los máximos de las curvas y se ha trazado la recta que pasa por dichos puntos.
La intensidad total en W·m-2, de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias).
o bien
W=s ·T4, con s =5.670·10-8 (Wm-2K-4)
Esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T.
Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale s’=4s /c.
Intensidad de la radiación emitida en una región del espectro
Vamos a calcular, la intensidad emitida por un cuerpo negro en una región del espectro comprendida entre las frecuencias f1 y f2, o entre las longitudes de onda l1=c/f1 y l2=c/f2
La fracción de la intensidad emitida en una región del espectro es el cociente entre la intensidad emitida en dicha región dividido por la intensidad total (ley de Stefan).
Esta fracción no depende de l o de T sino del producto l T. Esto quiere decir que por ejemplo la fracción de la intensidad emitida por un cuerpo negro en la región del espectro comprendida entre 0 y 10 mm a 1000º K es la misma que la fracción de la intensidad emitida en la región comprendida entre 0 y 5 mm a 2000º K.
Para calcular la integral definida se ha de emplear un procedimiento numérico, por ejemplo el método de Simpson, o bien la aproximación que se explica a continuación.
Se define la función F(x) a
El término 1-e-x en el denominador se puede expresar como suma de potencias de e-x desarrollando el binomio (1-z)-1=1+z+z2+z3+z4+…
Integrando por partes obtenemos la siguiente expresión para F(x)
Un pequeño programa de ordenador, nos permite calcular el valor de F(x1) y de F(x2) y a partir de la diferencia el valor de fracción de la intensidad emitida por el cuerpo negro en una región dada del espectro comprendida entre dos longitudes de onda o entre dos frecuencias.
La intensidad total emitida en la región del espectro delimitada por las longitudes de onda l1 y l2 se obtiene
donde s ·T4 como se ha explicado, es la intensidad de la radiación emitida en todas las regiones del especto.
En la siguiente tabla, se proporcionan los datos acerca del tanto por ciento de la contribución de la radiación infrarroja, visible y ultravioleta a la radiación de un cuerpo negro a las temperaturas que se indican.
| Temperatura (K) | % infrarrojo | %visible | %ultravioleta |
| 1000 | 99.999 | 7.367·10-4 | 3.258·10-11 |
| 2000 | 98.593 | 1.406 | 7.400·10-4 |
| 3000 | 88.393 | 11.476 | 0.131 |
| 4000 | 71.776 | 26.817 | 1.407 |
| 5000 | 55.705 | 39.166 | 5.129 |
| 6000 | 42.661 | 45.732 | 11.607 |
| 7000 | 32.852 | 47.506 | 19.641 |
| 8000 | 25.565 | 46.210 | 28.224 |
| 9000 | 20.154 | 43.247 | 36.599 |
| 10000 | 16.091 | 39.567 | 44.342 |
Fuente: Jain P. IR, visible and UV components in the spectral distribution of blackbody radiation. Phys. Educ. 31 pp. 149-155 (1996).
- A baja temperatura prácticamente toda la radiación es infrarroja.
- A muy alta temperatura la contribución de la radiación ultravioleta es cada vez mayor y la visible e infrarroja se hacen cada vez menores.
- La contribución de la radiación visible alcanza un máximo aproximadamente a 7100º K.
Veamos ahora, la explicación del color aparente de un cuerpo caliente. Por ejemplo, a temperatura de 2000 K un cuerpo emite luz visible pero la intensidad en el extremo rojo (baja frecuencia, alta longitud de onda) del espectro visible es mucho mayor que la azul (alta frecuencia, baja longitud de onda) y el cuerpo aparece rojo brillante. A 3000 K, la temperatura aproximada de un filamento de una lámpara incandescente, la cantidad relativa de luz azul ha aumentado, pero predomina aún la componente roja. A 6000 K, que es aproximadamente la temperatura del Sol, la distribución es casi uniforme entre todas las componentes de la luz visible y el cuerpo aparece blanco brillante. Por encima de 10000 K se emite luz azul con mayor intensidad que roja y un cuerpo (estrella caliente) a esta temperatura se ve azul.