Desde mediados del siglo XIX se comenzaron a obtener resultados experimentales que no podían ser explicados coherentemente desde los principios de las teorías clásicas de la Física que tantos éxitos habían acumulado en la explicación de los fenómenos relacionados con el movimiento mecánico, y en particular, con los movimientos ondulatorios mecánicos y el estudio clásico del campo electromagnético.
Entre los fenómenos en los cuales se producían los resultados dispares, se tenía la radiación por temperatura, sobre todo la correspondiente al llamado cuerpo negro; la presión que ejerce la luz sobre la superficie del cuerpo sobre la que incide, el llamado efecto fotoeléctrico (externo) y el denominado efecto Comptom. Todos estos fenómenos tenían resultados experimentales que discrepaban en cierta forma con los avances de la Electrodinámica Clásica y de la Teoría Electromagnética de la Luz.
Por otra parte no se disponía de un modelo sobre la estructura interna de los átomos que fuera capaz de explicar los espectros emitidos por los mismos, la radiactividad emitida por algunas sustancias y el comportamiento químico en general de las sustancias.
Todos estos asuntos estaban en la agenda de las Ciencias Físicas en los inicios del siglo pasado. Las respuestas fueron la creación de nuevas teorías con base en las ideas de la cuantificación de las distintas magnitudes que podían caracterizar el comportamiento de los objetos microscópicos y con las ideas acerca de que las relaciones causa efecto no solo se dan en la naturaleza a través de rígidas relaciones deterministas, sino que también se tienen que esas relaciones causa efecto se dan a través de relaciones probabilísticas. El carácter objetivos de ambos tipos de relaciones o leyes se ha establecido con todo rigor científico.
En estas nuevas teorías están la Teoría Fotónica de la Luz, iniciada con los trabajos de Planck y Albert Einstein; la Hipótesis de D’Broglie que concibe el carácter dual de las micropartículas y que dio pie al surgimiento de la Mecánica Cuántica, con los trabajos de Heisemberg, Bohr y Schrodinger y la Física de Átomo y del Núcleo. En particular esta última permitió la obtención de importantes fuentes de energía en los reactores atómicos y otras muchas aplicaciones en diversas ramas de la ciencias, de las tecnologías y la economía.
Por último estas ideas permitieron el desarrollo de los conocimientos actuales sobre las partículas elementales que se fueron descubriendo y sistematizando durante los años del siglo pasado, sistematización que dio como resultados la denominada Teoría de los Quarks, que versa sobre la estructura interna de estas partículas y que se vincula con las teorías sobre la formación del universo y de su desarrollo.
Sobre estos temas, adaptados para el aprendizaje de los estudiantes de las carreras de las ingenierías en los distintos centros de educación superior, se trata en las páginas que siguen.
El material se ha ordenado de forma que no tiene una secuencia histórica sino lógica.
Además en cada aspecto se ha introducido una página que plantea distintas aseveraciones, ciertas, parcialmente ciertas o falsas, que tienen el propósito de que el estudiante mida su nivel de partida e incluso que procure investigar previamente sobre las materias a estudiar.
Al finar se suministra una colección de situaciones problémicas, en vez del tradicional listado de problemas, las cuales se constituyen en el medio para, mediante la investigación ulterior del estudiante, desarrollar el éxito en la comprensión del material y sus esencias y de profundizar en los temas relacionados y en otros afines.
Introducción
Desde finales del siglo XIX y principios del siglo pasado se produjeron los principales avances científicos para alcanzar la actual concepción sobre las características duales, como onda electromagnéticas y como partículas, para conformarse así la Teoría Fotónica de la Luz.
A la vez, estas ideas sobre la cuantificación de la energía de los fotones y de su momento lineal sentaron las bases para la elaboración de las teorías sobre el movimiento de las micropartículas contenidas en la denominadas Mecánica Cuántica y Cromodinámica (Teoría Electrodinámica de las Micropartículas) y de todos los avances ulteriores en la Ciencia del Átomo y en la Ciencia del Núcleo Atómico y en la Teoría sobre los Quark. Todo ocurre como si la luz y su doble naturaleza sirviera de llave maestra para penetrar más profundamente en el comportamiento de la sustancia y el campo
3.1.1 Discusión inicial
Relación de afirmaciones para ser analizadas antes de estudiar el material:
En todos los fenómenos la luz manifiesta su carácter de onda electromagnética. En caso que se conteste negativamente, poner ejemplos de fenómenos en los que participa la luz y que contradigan esta afirmación.
Un ejemplo de fenómeno de emisión de la luz por un cuerpo del tipo conocido por luminiscencia es la combustión.
En los fenómenos de luminiscencia la luz se emite gracias a fenómenos que se realizan bajo las condiciones del equilibrio termodinámico.
Un cuerpo puede radiar ondas electromagnéticas a expensas de su energía interna, de forma que al emitir las radiaciones, en una sucesión de estados cuasi - estáticos, el cuerpo se va enfriando.
Cuando varios cuerpos pueden intercambiar energía mediante la emisión y absorción de ondas electromagnéticas y alcanzan el equilibrio térmico cumplen que el cuerpo de entre ellos que más emita será el que más absorba.
Se tienen dos cuerpos calientes. Uno de ellos presenta la coloración conocida por rojo vivo. El otro está al rojo blanco. El segundo de ellos tiene una temperatura mayor.
El sol es una estrella amarilla y con esta información se puede conocer aproximadamente la temperatura de su superficie.
El efecto fotoeléctrico externo consiste en que al incidir luz sobre una placa de cierto material se emiten electrones con cierta energía cinética por esta placa.
El efecto fotoeléctrico puede ser perfectamente explicado por la TEM.
El efecto fotoeléctrico puede ser aplicado en sistemas de seguridad.
3.1.2 Radiación por temperatura.
Los cuerpos pueden radiar ondas electromagnéticas por dos tipos de procesos únicamente. Estos tipos de procesos son: las luminiscencias y la radiación por temperatura.
El primer tipo está formado por variadas formas, entre ellas a modo de ejemplo están la quimioluminiscencia, la biolumiscencia, la fotoluminiscencia, etc. En todos estos casos la radiación es generada a partir de energía obtenida de un proceso no reversible que se produce en el cuerpo, como se aprecia con gran evidencia en la quimioluminiscencia, en particular en el caso típico de la combustión. Esto significa adicionalmente que las luminiscencias no se producen en equilibrio termodinámico.
El segundo tipo solo está formado por un tipo de proceso en el cual el cuerpo emite energía en forma de ondas electromagnéticas a expensas de su energía interna. Recordando que una de las interpretaciones de la temperatura, como parámetro del equilibrio termodinámico, es que esta magnitud es proporcional a la energía cinética de las partículas o unidades estructurales que conforman las sustancias de las que están formados los cuerpos, se tiene que la energía interna de un cuerpo es función de su temperatura. La característica principal de este tipo de radiación es que se produce en procesos reversibles dado que ella se produce en equilibrio termodinámico, ya que solo en el equilibrio termodinámico es posible utilizar el concepto de temperatura.
Se puede hacer un estudio detallado de los procesos que originan la radiación por temperatura en cada caso particular para cada tipo de cuerpo, pero esto sería un estudio extensivo y muy largo. Sin embargo, también existe un enfoque termodinámico o energético que permite obtener resultados comunes a todos los casos de radiación por temperatura. En este enfoque lo importante es hacer los adecuados balances energéticos utilizando la Ley de Conservación y Transformación de la Energía.
Para ello es necesario introducir un grupo reducido de magnitudes que son las siguientes:
| El flujo radiante total dP que es la energía emitida por la superficie del cuerpo por unidad de tiempo en todas las longitudes de onda en las cuales él emite. En el SI esta magnitud se mide en watt. |
| El flujo radiante espectral dPl que es la energía emitida por la superficie del cuerpo por unidad de tiempo, pero en un intervalo de longitudes de onda dl alrededor del valor l. Esta magnitud también se mide en watt en el SI. |
| La irradiación RT que es la energía que emite la superficie de área dS del cuerpo por unidad de tiempo y de área, tal que: |
Esta magnitud representa la energía total radiada por la superficie del cuerpo por unidad de tiempo y de área y en todos los rangos de longitud de onda. En el SI esta magnitud se mide en watt por metros cuadrados (W/m2)
| La densidad espectral de radiación el,T que es la energía por unidad de área por unidad de tiempo y por unidad de intervalo de longitud de onda alrededor de una valor de longitud de onda que emite la superficie del cuerpo. Esta magnitud en el SI se mide en watt por metro cúbico (W/m3) y de ahí su nombre de densidad. Antiguamente se le llamaba poder emisivo espectral. Esta magnitud se enlaza con la irradiación a través de la expresión: |
| El poder absorbente espectral que se define como la relación entre el flujo radiante espectral que absorbe el cuerpo y el flujo radiante espectral que incide sobre él para un intervalo dado de longitudes de onda, esto es: |
Nótese que el poder absorbente espectral es adimensional.
Ley de Kirchhoff.
Se demuestra experimentalmente que la relación entre la densidad espectral y el poder absorbente espectral, para el mismo intervalo de longitudes de onda es una función de la longitud de onda y la temperatura que no depende de la naturaleza del cuerpo, esto significa que se trata de función universal de estas dos magnitudes. A esto se puede llegar del siguiente experimento. Sea D una cavidad y en ella coloquemos los cuerpos A, B y C que están inicialmente a distintas temperaturas y que solo pueden intercambiar energía mediante las ondas electromagnéticas que emiten y absorben. Al final cuando se logra el equilibrio térmico, cada uno de los cuerpos emite y radia igual cantidad de energía en todo el espectro, y por tanto en cada parte. Esto significa que en cada intervalo de longitudes de onda la relación entre la energía emitida y la absorbida no puede depender de la naturaleza del cuerpo. Esto implica que:
Siendo f(l,T) una función universal, esto es, de igual forma para cualquier cuerpo que esté radiando por temperatura, lo que indica que está en el equilibrio térmico.
Este es el contenido de la ley de Kirchhoff.
En general la emisión y absorción de energía en forma de ondas electromagnéticas por los distintos cuerpos, compuestos de sustancias distintas, presenta un carácter selectivo, sin que esto haga que se viole la ley anterior.
Ahora bien, existen dos modelos de cuerpos muy especiales. Ellos son:
| El cuerpo negro o radiador ideal, para el cual el poder absorbente espectral es igual a la unidad, que es su máximo valor posible, para todo valor de la longitud de onda de la luz incidente y para toda temperatura del cuerpo negro, lo que hace que la densidad espectral del cuerpo negro sea directamente igual a la famosa función universal de la ley de Kirchhoff. Este modelo de cuerpo será el que más radie en cualquier intervalo de longitudes de ondas y para la misma temperatura. Es por ello que se denomina radiador ideal. |
Como para cada intervalo de longitudes de onda este modelo de cuerpo es él que más emite (y a la vez el que más absorbe), al sumarizar para todo el espectro ocurrirá que no existe cuerpo alguno que a la misma temperatura tenga un valor mayor de la irradiación RT.
| Cuerpo gris, que será aquel para el cual el poder absorbente espectral es una constante, menor que la unidad, para toda longitud de onda y para cualquier temperatura del modelo de cuerpo gris. Nótese que la densidad espectral del cuerpo gris es igual a la del cuerpo negro multiplicada por una constante comprendida entre 0 y 1. |
Todo esto indica que buscar las formas en que la densidad espectral del cuerpo negro depende de la longitud de onda de la radiación que emite en cada intervalo de longitudes de onda y temperatura del cuerpo negro, se estará buscando la forma de la función universal de la ley de Kirchhoff, lo que reporta sumo interés para comprender los procesos de radiación por temperatura.
Un cuerpo que se semeja al modelo del cuerpo negro es una pequeña abertura en una cavidad, con una serie de láminas en su interior. Cuando un rayo de luz entra por la abertura en la cavidad sufrirá múltiples reflexiones en las paredes de la cavidad y en las superficies de las láminas que están en su interior. En cada reflexión la intensidad relativa del reflejo se ve afectada por un factor ki, mayor que cero y menor que la unidad, y que es función del ángulo de incidencia y, en cierta forma, del estado de polarización de la luz que incide. Cuando el rayo haya sufrido N reflexiones, entonces su intensidad relativa estará dada por:
En el límite, el rayo sufrirá una cantidad de reflexiones muy grande antes de volver a emerger por la abertura de cavidad y por eso se puede considerar, con bastante buena aproximación que su intensidad es nula.
En la figura se hace una representación de una sección transversal de este cuerpo (recuérdese que se trata de la abertura la que simula el cuerpo negro)
se estudió cómo se distribuía la energía por unidad de superficie y por unidad de tiempo de la luz que emergía por la abertura (para lo que es necesario utilizar una red de difracción de fase construida de cuarzo, que es una material que tiene poca absorción en la zona del ultravioleta, o un prisma, de ese mismo tipo de material, y un sistema para medir las intensidades para cada rango de longitudes de onda y que, como se verá más adelante, consiste de una celda fotoeléctrica acoplada a un voltímetro con la correspondiente calibración), se obtuvo un resultado experimental de la dependencia de la densidad espectral con respecto a la longitud de onda y para cada temperatura del cuerpo negro, tal y como se representa en la figura:
En esta figura la temperatura T2 es mayor que la T1.
Recuérdese además que la densidad espectral que se ha representado en el eje de las abscisas es la correspondiente a una cuerpo negro.
La interpretación del área bajo la curva en esta gráfica es que esta área, medida en las correspondientes unidades, es igual a la irradiación RT
Desde el punto de vista experimental se establecieron tres importantes "leyes" que detallamos a continuación:
| Ley de Stefan – Boltzmann |
Esta ley establece que la irradiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo negro, esto es:
Esta ley sirve ahora para dar una nueva definición de la temperatura como una magnitud proporcional a la raíz cuarta de la irradiación de un cuerpo negro.
La constante de proporcionalidad en esta ecuación se denomina Constante de Stefan – Boltzmann y su valor es de 5,5·10-8 W/m2·K4
| Primera ley de Wien o ley de los desplazamientos |
En esta ley se establece que el valor de la longitud de onda para la cual se tiene el máximo valor de la densidad espectral del cuerpo negro a una temperatura dada, es inversamente proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo negro, esto es:
donde lmax es la longitud de onda correspondiente al valor máximo de la densidad espectral, C' es la primera constante de Wien, cuyo valor es 2,9·10-3 m·K medida en unidades del SI y T es la temperatura absoluto del cuerpo negro. Debe notarse que este valor de longitud de onda suele llamarse longitud de onda máxima, pero en realidad el máximo valor de la longitud de onda de la radiación que emite el cuerpo negro es un valor tan grande como se quiera, es decir, teóricamente es infinito.
| Segunda ley de Wien |
Esta ley que también es un resultado experimental, establece que el valor máximo de la densidad espectral es proporcional a la quinta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo negro, esto es:
donde C'' es la llamada segunda constante de Wien, que en el SI toma el valor es 1,3·10-5 W/m3 ·K5 y T es la temperatura del cuerpo negro.
Estas leyes, y en la medida en que los cuerpos calientes puedan ser considerados como buenas aproximaciones de un cuerpo negro o haciendo ciertas estimaciones sobre los posibles errores cometidos, pueden ser utilizadas para determinar la temperatura de esos cuerpos. Ejemplo de estas aplicaciones es el llamado pirómetro óptico que es un instrumento que permite medir la temperatura de los altos hornos en las funciones a través de pequeñas aberturas en las paredes del horno que se pueden considerar con bastantes buena aproximación como cuerpos negros. Otras aplicaciones están relacionadas con la determinación aproximada de la temperatura de las estrellas, que de otra forma sería prácticamente imposible determinar. Todos estos métodos de medición de las temperaturas se engloban en una rama de la ciencia de la mediciones conocida por Termometría o Pirometría Óptica.
Era tarea de sumo interés científico lograr explicar, con base en una teoría y consecuentemente, esta forma funcional para la densidad espectral del cuerpo negro y las leyes de carácter experimental que se habían obtenido con todo rigor científico.
El intento más serio desde las posiciones de la Teoría Electromagnética de la Luz (TEM) y apoyada en el Teorema de Equipartición de la Energía (según el cual en el equilibrio termodinámico la energía se distribuye por igual entre cada grado de libertad del sistema de modo que a cada grado de libertad de corresponde una energía igual a la mitad del producto de la constante de Boltzmann por la temperatura) fue el desplegado por Rayleigh y Jeans. Ellos partieron de la idea de que en el interior de la cavidad las ondas luminosas eran ondas estacionarias y que en cada onda tenía dos grados de liberta, uno para las oscilaciones del vector óptico y otro para las oscilaciones del vector inducción magnética, de suerte que la energía de cada uno de estos modos de ondas luminosas estacionarias tenía una energía igual a la constante de Boltzmann por la temperatura absoluta del cuerpo negro. Luego calcularon la densidad volumétrica de estos modos de oscilaciones. Al final ellos pudieron obtener una expresión para la densidad espectral del cuerpo negro en su dependencia con la longitud de onda y la temperatura del cuerpo negro. Esta expresión, que es el resultado "no erróneo" desde el punto de vista de la Física Clásica, es como sigue:
donde c es la rapidez de la luz en el vacío; kB es la constante de Boltzmann; l es la longitud de onda y T es la temperatura absoluta del cuerpo negro.
Esta expresión tiene dos inconvenientes insalvables: la primera de ellas está dada por el hecho de que al trazar esta dependencia en un plano cartesiano con entre la densidad espectral vs. la longitud de onda, para cada temperatura, el área bajo la curva, que se interpreta como la irradiación, esta diverge. El otro problema es que esta gráfica solo se "acerca" a la curva experimental para los grandes valores de la longitud de onda. A esta última discordancia se le dio el nombre de "Catástrofe ultravioleta", pues para las pequeñas longitudes de onda (ultravioleta) no se ajustaba la teoría a los hechos experimentales.
En el año de 1900 Max Planck (1858 - 1947), físico alemán que por estos trabajos recibió el Premio Nobel en 1918, partiendo de otras ideas logró obtener una expresión que de ajusta perfectamente a los resultados experimentales, salvando las desviaciones normales debidas a los errores experimentales.
Planck asumió que las paredes de la cavidad absorben la energía luminosa en forma de paquetes de energías, que él denominó "cuántos" (más tarde fueron llamados "fotones"). Esto indicaba un rompimiento con las ideas de la TEM, según la cual las ondas solo pueden entregar sus energía de forma continua, con cada ciclo de las correspondientes oscilaciones y según se establece con ayuda del vector de Poynting.
Según Planck la energía de cada una de estos cuántos era proporcional a la frecuencia de las ondas, siendo la constante de proporcionalidad una constante, que más tarde fue denominada Constante de Planck y cuyo valor es 6,625·10-34 J·s. Así se tiene:
donde E es la energía del cuánto luminoso, h es la constante de Planck y f ese la frecuencia de la onda luminosa.
Luego Planck encontró una estadística novedosa y no clásica para ver cómo se distribuye la probabilidad de la existencia de los distintos cuántos en el volumen de la cavidad. Él logró así, partiendo de ideas no - clásicas, obtener la siguiente expresión:
donde h es la constante de Planck; c es la rapidez de la luz en el vacío; l es la longitud de onda; kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta del cuerpo negro.
Esta dependencia teórica se ajustó convenientemente a la curva experimental. Además, a partir de esta expresión se pueden demostrar las "leyes " experimentales explicadas más arriba. Esto fue un rotundo éxito de estas nuevas ideas y concepciones.
También se puede argumentar que para las grandes longitudes de onda, lo que permite hacer el desarrollo en serie de la exponencial que aparece en esta expresión, tomando solo hasta la primera potencia de la función de la que depende esta exponencial, se puede llegar a la expresión de la densidad espectral obtenida por Rayleigh y Jeans.
Como conclusión principal de todo esto estudio se puede señalar que la radiación por temperatura, en particular la del cuerpo negro, no puede ser explicada por las teorías clásicas, concretamente la TEM, salvo para los casos de las ondas emitidas de grandes longitudes de onda. Y para la adecuada explicación se tiene que admitir que la luz entrega y recibe su energía de igual forma que las partículas al interactuar con otras. Es decir esta transferencia de energía se produce de golpe o casi instantáneamente.
3.1.3 Efectos fotoeléctricos
Otro grupo de fenómenos en los cuales se producen fallos de la TEM en el proceso de su explicación y que por tanto son demostrativos de que la luz tiene un doble carácter, son los llamados efectos fotoeléctricos.
Los efectos fotoeléctricos son de dos tipos:
| El efecto fotoeléctrico externo, que se puede definir de forma compacta como la emisión de electrones desde un cristal debido a la interacción con la luz. |
| El efecto fotoeléctrico interno, que definido brevemente se puede decir que se trata del paso de electrones enlazados al cristal o una de sus unidades estructurales en un determinado estado caracterizado ese estado por su energía y otra magnitudes físicas, algunas de las cuales no tienen un símil clásico. Esta tipo de efecto debe ser estudiada cuando se disponga de más información sobre los métodos para estudiar los movimientos en el micromundo. |
Para el caso del primer tipo, las investigaciones, de carácter experimentales, su comenzaron a finales de siglo XIX. En esos tiempos no se había descubierto todavía la existencia del electrón. Sin embargo, por la vía experimental se había logrado establecer el efecto que provocaba la luz, particularmente la ultravioleta sobre algunos procesos eléctricos. Esto se tuvo en particular en los experimentos de Hertz que estudiaba la descarga eléctrica entre dos esferas metálicas sometidas a una diferencia de potencial alterna. Cuando él irradiaba las esferas con luz de una arco eléctrico con su componente ultravioleta, el chisporroteo entre las esferas se aceleraba.
Más tarde, por la vía experimental se lograron establecer las siguientes cuatro propiedades del efecto fotoeléctrico externo:
| La energía cinética de los electrones arrancados por el efecto de la luz no dependía de la intensidad del haz luminoso siempre que no se variara la frecuencia de la luz incidente sobre la placa fotosensible. |
| Existe un valor umbral de la frecuencia de la luz incidente, llamado frecuencia umbral o frecuencia de corte, por debajo del cual no se produce el efecto. Este valor caracteriza al material de la placa fotosensible. |
| El efecto es instantáneo. Experimentos posteriores demostraron que el efecto se produce en un tiempo del orden de 1 ns. |
| La intensidad de la corriente de saturación de la celda fotoeléctrica es proporcional a la intensidad de la luz incidente. |
Parte de estas propiedades se pueden apreciar al desarrollar los experimentos para determinar las características voltio - ampérica de una celda fotoeléctrica. En una instalación como la que se representa en la siguiente figura:
En esta instalación la luz entra a la ampolleta, en cuyo interior se tiene la placa del material al que se le investiga su comportamiento ante el efecto fotoeléctrico externo y en la cual se ha hecho vacío, por una ventana de cuarzo (se selecciona este material por ser poca la absorción para el rango ultravioleta del espectro .
Cambiando la polaridad del generador de fem se puede obtener la rama de la curva voltio - ampérica para los potenciales aceleradores.
La trazar las curvas voltio - ampéricas, a partir de los resultados del experimento, para distintas intensidades de la luz monocromática incidente, sin cambiar la frecuencia de la luz, se obtienen las gráficas siguientes:
De estas curvas se aprecia que el potencial de corte, y por ende la energía cinética máxima de los fotoelectrones, no cambia al cambiar la intensidad de la luz incidente, siempre que se mantenga constante la frecuencia.
Además nótese que para cada valor de la intensidad de la luz incidente se tiene un valor para la intensidad de la luz incidente hay un valor de saturación de la intensidad de la corriente de fotoelectrones. La saturación se produce debido a que a pesar de aumentar el potencial acelerador de los electrones, no hay más disposición de electrones extraídos por la luz de esa intensidad, (siempre que los valores del potencial acelerador no sean tan enormes que provoquen la emisión "en frío" de electrones).
Si se grafica el valor de la intensidad de la corriente de saturación versus la intensidad de la luz se obtiene el siguiente resultado:
donde i es la intensidad de la fotocorriente de saturación e I es la intensidad de la luz incidente.
Veamos cómo las tres primeras de estas características experimentales no pueden ser explicadas desde las posiciones de la TEM:
| Como para la TEM la luz es una onda electromagnética, esta onda transporta una energía tal que la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones del vector óptico. Por tanto al aumentar la intensidad de la luz, esta onda entregará más energía al cristal sobre la que incide y los fotoelectrones arrancados debían ser más energéticos. El experimento desmiente esta conclusión de la TEM. |
| Como la luz es una onda, aún para las más bajas frecuencias ella es capaz de entregar energía al cristal y en más o menos tiempo completar la energía necesaria para arrancar el electrón al cristal. Esto tampoco ocurre según los resultados experimentales, pues existe un valor umbral para la frecuencia de la onda incidente. |
| Para las amplitudes habituales de las oscilaciones del vector óptico y calculando la intensidad de energía transportada por la onda como indica la TEM, el efecto fotoeléctrico, es decir, la expulsión del electrón debería producirse después de pasar tiempos considerablemente mayores, esto es el efecto no debiera ser casi instantáneo. |
Sin embargo la última de las características experimentales del efecto fotoeléctrico si puede ser explicada por la TEM. Como la luz es una onda electromagnética que entrega una energía por unidad de tiempo y de superficie proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones del vector óptico, a mayor intensidad de la onda incidente serán arrancados más electrones en la unidad de tiempo y por ello la fotocorriente debe aumentar en la misma proporción en que lo hace la intensidad de la luz que incide.
3.1.4 Modelo fotónico de Einstein
En el año de 1905, ya hace casi cien años, Albert Einstein (1879 - 1955), físico alemán que se naturalizó en EE.UU. en 1940 y que realizó importantes trabajos entre los que se distinguen los relacionados con la Teoría Especial y General de la Relatividad; con el Fotoefecto, que es lo que nos ocupa ahora, y con la explicación del Movimiento Browniano y recibió el Premio Nobel en 1921 y quien fuera en la vida pública un destacado profesor que mantenía firmes principios en favor de la paz y en contra de otras lacras sociales, como por ejemplo la discriminación racial; publicó su trabajo con el cual daba la explicación a este efecto fotoeléctico externo.
Einstein coincidiendo con Planck, asumió que la luz entregaba su energía al cristal fotosensible en forma de paquetes de energía, cuya energía es proporcional a la frecuencia de la luz.
Luego supuso el caso del evento llamado monoelectrónico en el cual en cada absorción de un cuánto luminoso es emitido por el cristal un solo electrón (esto es lo que ocurre para las intensidades habituales de la luz) y aplicó la Ley de Conservación y Transformación de la energía, obteniendo así su famosa ecuación para el fotoefecto externo:
donde E es la energía del cuánto luminoso incidente; h es la constante de Planck; f la frecuencia de la luz incidente; E0 es la energía que debe ser entregada al cristal para que ceda el electrón y a la que llamaremos trabajo de extracción y Ec máxima es la energía cinética máxima de los fotoelectrones.
La energía cinética máxima de los fotoelectrones puede ser medida haciendo una conexión de eléctrica que permita aplicar un potencial retardador de los electrones a la placa que los emite bajo el efecto de la luz, se tendría que el valor del potencial retardador mínimo necesario para hacer que la fotocorriente sea nula multiplicado por la carga eléctrica del electrón sea igual a la energía cinética del electrón más energético, gracias al Teorema del Trabajo de la Fuerza Resultante y la Variación de la Energía Cinética y a la definición de diferencia de potencial. Al valor del potencial retardador mínimo necesario par hacer cero la fotocorriente se le denomina potencial de corte.
Por otro lado esa misma energía cinética máxima de los fotoelectrones puede ser expresada en términos de la rapidez del electrón más veloz o en términos del módulo del momento lineal de ese electrón más veloz.
También se tiene que sí la energía cinética máxima del fotoelectrón es cero, el electrón liberado del cristal por efecto de la acción luminosa es de nuevo atrapado por el cristal y no se produce corriente de fotoelectrones. En este caso el valor de la frecuencia de la luz incidente sería tal que la energía del cuánto incidente solo alcanzaría para igualar el trabajo de extracción y esa frecuencia tendría el valor que hemos denominado frecuencia umbral. Esto implica que el trabajo de extracción es numéricamente igual al producto de la constante de Planck por la frecuencia umbral.
También partiendo de la relación que existe entre la frecuencia de la onda luminosa y su longitud de onda en un medio dado, en este caso en el vacío, se puede llegar a expresiones para la energía del cuánto luminoso y del trabajo de extracción en función de las correspondientes longitudes de onda. El trabajo de extracción puede entonces escribirse mediante las expresiones:
donde fc es la frecuencia de corte y lmax es la longitud de onda de corte o límite al rojo del efecto fotoeléctrico. Si la luz incidente sobre un cristal dado tiene una frecuencia por debajo del valor de la frecuencia de corte para ese cristal, el fotoefecto no se produce. A la vez si la luz incidente tiene una longitud de onda por encima valor que hemos denominado límite al rojo del efecto fotoeléctrico correspondiente a ese cristal, el efecto no se produce.
Tomado en cuanta todo esto se puede hacer la siguiente tabla para recordar todas las apariencias que puede tomar la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico externo:
| La energía del fotón es igual a: | El trabajo de extracción mas | La energía cinética máxima del fotoelectrón |
 |
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| hf |  |
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 |
En esta tabla moe es la masa en reposo del electrón, que al no ser tan energético, puede hacerse la aproximación no - relativista para la relación entre la energía cinética y el momento lineal. Además Vc es el potencial de corte.
Es claro que según se deduce de esta tabla habrá, en principio, 36 formas de escribir la ecuación de Einstein y que la forma que adoptemos dependerá de los datos o información de la que dispongamos cuando se pretende resolver un problema dado.
Veamos en detalle cómo se puede explicar a partir de esta ecuación las características experimentales del fotoefecto externo:
| Si no se cambia la frecuencia de la luz, la energía del cuánto cada cuánto luminoso que llega sobre el cristal no varía, por mucho que se cambie la intensidad del haz. De esta forma la energía cinética máxima de los fotoelectrones no puede variar. |
| Como la energía de cada paquete es proporcional a la frecuencia de la luz, entonces cuando se tiene una haz de luz de frecuencia por debajo de un valor dado, la energía del cuánto no superará el valor del trabajo de extracción y no se producirá el efecto. |
| Como el paquete interactúa de una vez con el cristal, el proceso de la extracción del fotoelectrón es casi instantáneo. Esto es la energía la entrega el paquete o cuánto de una vez. |
| Al aumentar la intensidad de la onda incidente se aumenta la cantidad de paquetes por unidad de área de una superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda y por unidad de tiempo, por lo que al cristal llegan más cuántos por unidad de superficie y de tiempo y se producen más eventos de extracción y la intensidad de la fotocorriente (en particular la de saturación de una celda fotoeléctrica) aumenta proporcionalmente a la intensidad de la luz incidente. |
Para comprender esto debemos observar la gráfica de las energías del electrón en el seno del cristal y fuera de él:Expliquemos lo relacionado con el hecho de que en la ecuación de Einstein aparezca la energía cinética máxima de los fotoelectrones y por que este valor no es constante para todos los electrones arrancados por un mismo tipo de cuánto luminoso, sino que la energía cinética de los fotoelectrones va desde un valor que puede ser incluso cero hasta ese valor máximo.
En esta representación gráfica EF es la energía del nivel de Fermi, esto es la energía del electrón más energético en el seno de cristal; Eb es el valor de la energía que debe adquirir el electrón para apenas liberarse de las interacciones con el cristal; E0 es el trabajo de extracción, que como se aprecia de la gráfica es numéricamente igual a Eb - EF; Ec es la energía cinética con que se aleja del cristal el electrón una vez liberado por la acción de la luz, que le entrega al cristal una energía igual a la diferencia entre Eb y la energía del nivel en el que se encontraba el electrón.
Nótese que si el electrón que es extraído fuera el del nivel de Fermi, entonces la energía cinética alcanzaría el valor máximo y a la vez la energía que absorbe el cristal sería Eb - EF, que sería igual al trabajo de extracción. Véase que precisamente estos son los valores que aparecen en la ecuación de Einstein para el fotoefecto externo. En cuanto al fotoefecto interno podemos señalar que en estos casos los electrones no logran salir del seno del material, sino que realizan transiciones desde un nivel de energía a otro superior al absorber el fotón y con él, su energía. Pero esta absorción de energía solo puede ser posible si la energía del cuánto incidente es suficiente para la transición del electrón.Aquí se distinguen varios casos interesantes:
| Si el material fuera un metal se tiene que la luz de cualquier frecuencia, y por ende con cuántos de cualquier energía, podrá provocar, al ser absorbida, el paso de los electrones a niveles superiores de energía, lo que hará aumentar la conductividad eléctrica del metal. |
| Para el caso de los aisladores, en los cuales existe un "gap" energético entre las bandas de valencia (última banda completamente llena) y la banda de conducción (primera banda completamente vacía). Si el "gap" tiene un valor de DE, debe satisfacerse la desigualdad: |
En estos casos el aislador aumentará drásticamente su conductividad, cuando la intensidad de la luz sea lo suficientemente grande como para provocar que muchos electrones realicen esta transición interna.
Si se considera como valor típico para este "gap" energético l de 0,96 aJ (6 eV), se tendrá que la frecuencia de la luz capaz de provocar el fotoefecto interno tendrá que ser superior a 1,45 PHz y por tanto la longitud de onda, medida en el vacío, tendrá que ser inferior a 207 nm, que se corresponde con la zona del infrarrojo.
| Para el caso de los semiconductores puros se tiene una situación similar, pero tomando
en cuenta que el valor del "gap" energético es menor que en el caso de los
aisladores y que debe realizarse un análisis que tome en cuenta a los huecos pues en
definitiva ellos representan el comportamiento colectivo de los electrones que permanecen
en la banda de valencia. Al aumento de la conductividad de la electricidad que resulta de este efecto fotoeléctrico interno recibe el nombre de fotoconductividad. |
| Para el caso de los semiconductores "dopados" al existir los niveles donores o
aceptores, según el tipo de añadidura, la energía del fotón incidente puede ser menor
que para el caso de los semiconductores puros. Para la mayoría de los semiconductores la energía de los fotones del rango visible del espectro electromagnético es suficiente para producir el fotoefecto interno. Pero existen algunos semiconductores especiales en los cuales se puede obtener el aumento de la conductividad eléctrica cuando incide luz de baja frecuencia (por debajo del rango visible) tal como en la zona del infrarrojo. |
También son utilizadas para las celdas fotovoltaicas que permiten la conversión de la energía luminosa, de el sol o de otra fuente, en energía eléctrica. En la actualidad existen variados dispositivos a semiconductores en los cuales el fotoefecto interno juega un papel en su funcionamiento. Así se habla de la Optoelectrónica.El fenómeno de la fotoconductividad o efecto fotoeléctrico interno permite la fabricación de los llamados fotoresistores que son dispositivos de resistencia eléctrica variable en función de la luz que incida sobre ellos. Una de las aplicaciones de los fotoresistores es la detección de la luz y la medición de su intensidad (fotómetros). Esta propiedad se utiliza ampliamente en sistemas de seguridad y alarma, la televisión, el sonido en el cine, detectores de micropartículas, automatización de controles en los procesos industriales, etc.
Otras de la aplicaciones del fotoefecto son lectores de tarjetas y cintas perforadas, en aplicaciones en la llamada Fotometría para determinar la intensidad de la luz.
Estos fenómenos denominados efecto fotoeléctrico, junto a la radiación por temperatura, en especial la radicación del cuerpo negro, nos dicen sobre las limitaciones de la TEM para explicar la naturaleza de la luz.
Vuelve entonces la vieja polémica que se presentó desde los tiempos de Newton, para quien la luz era una haz de partículas.
Pero veamos donde puede haber puntos de contacto entre estas dos concepciones.
Nótese que el modelo de Rayleigh - Jeans armoniza con los resultados experimentales de la densidad espectral del cuerpo negro para las grandes longitudes de onda.
Además veamos con detenimiento la cuarta característica del efecto fotoeléctrico externo que si podía ser explicada por la TEM.
Estos dos hechos nos dicen que la idea de que las ondas son ondas electromagnéticas, por demás perfectamente compatible con las explicaciones de los fenómenos de polarización, interferencia y difracción de la luz, que la TEM parece no carecer de ciertos fragmentos de la realidad en cuanto a la naturaleza de la luz.
Así, y tomando en cuenta estos factores, es que surge la Teoría Fotónica de la Luz, a partir de los trabajos de Einstein, en el núcleo de la cual se encuentra el reconocimiento del doble carácter de la luz: la luz es onda electromagnética y es un haz de partículas a las que llamaremos cuántos luminosos o simplemente fotones.
Como puntos de apoyo de esta doble naturaleza están las ecuaciones que ligan las propiedades ondulatorias de la luz con sus propiedades corpusculares. Tales son los casos de las ecuaciones que ligan la energía de los fotones con la frecuencia de las ondas o con la longitud de onda, descritas más arriba y utilizada en las explicaciones de ambos fenómenos. Otra de estas ecuaciones es la relación entre la longitud de onda y el momento lineal del fotón:
A esta ecuación se llega fácilmente a partir de la relación entre la energía del fotón con la longitud de onda y recordando la Ecuación de la Dinámica Relativista (que es la relación relativista entre la energía y el momento lineal de una partícula) para el caso específico del fotón que no tiene masa en reposo.
De estas ecuaciones se aprecia cómo se vinculan las propiedades de corpúsculo y de onda electromagnética de la luz.
Veamos el caso curioso de esa cuarta propiedad experimental del fotoefecto externo. Desde el punto de vista de la concepción de la luz con haces de partículas de energía proporcional a la frecuencia de la luz. En esta explicación se puede asumir que la intensidad de la luz viene descrita por la ecuación:
donde I es la intensidad del haz, n es la cantidad de fotones por unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación y de tiempo y h y f tienen el significado que se le asignó más arriba.
Según esta idea la intensidad del haz luminoso, de un mismo color, puede aumentar si aumenta la cantidad de fotones por unidad de superficie y por unidad de tiempo y esto explica que si un haz luminoso incide sobre una placa fotosensible y tiene la frecuencia adecuada para que se produzca el fotoefecto y se aumenta la intensidad de la luz, sin cambiar la frecuencia, se produce el arribo de más fotones por unidad de superficie de la placa y por unidad de tiempo y entonces son arrancados más electrones y como consecuencia de esto aumenta, en la misma medida que la intensidad de la luz, la intensidad de la fotocorriente.
Pero según la TEM la intensidad de la onda luminosa es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones del vector óptico, que se puede tomar como la amplitud de la función de onda que describe la onda electromagnética.
De estos dos razonamientos nos llevan a plantear la ecuación:
Esta ecuación se coloca en el centro de la Teoría Fotónica de la Luz, expresando que la onda electromagnética es la onda de probabilidad asociado con el fotón. Esto se comprenderá mejor más adelante en el curso.
Por otra parte la luz no puede, sin que se falte a la lógica más elemental comportarse de las dos formas a la vez. Existe el llamado Principio de Complementariedad que establece que la luz tiene el doble carácter, pero en cada fenómeno en la que ella participa solo puede, a un tiempo, comportarse en una de las dos formas.
Este comportamiento está signado por el tipo de interacción que realiza la luz con los objetos y además por las propias características de la luz, en particular con su longitud de onda.
Es por ello que cuando las longitudes de onda son grandes es más fácil que la luz evidencie su comportamiento ondulatorio. Esto explica la razón del ajuste del modelo de Rayleigh -Jeans con los resultados experimentales para las grandes longitudes de onda.
En el caso contrario, para las pequeñas longitudes de onda, más fácilmente la luz manifiesta su carácter corpuscular.
De esto se evidencia que las ondas electromagnéticas utilizadas en las telecomunicaciones difícilmente muestres un carácter corpuscular.
Los fenómenos de la radiación por temperatura, en especial la radiación del cuerpo negro, y el efecto fotoeléctrico no son los únicos que confirman la naturaleza dual de la luz. También entran en esta relación, entre otros, el llamado Efecto Compton, que consiste del cambio de longitud de onda y por ende de energía del fotón que interactúa con una partícula enlazada tal como puede ser un electrón ligado a un átomo o una molécula, y que se explica considerando la Ley de Conservación y Transformación de la Energía y la Ley de Conservación del Momento lineal para esta interacción; y la llamada Presión de Radiación, que no es más que el hecho de que al incidir la luz sobre un objeto, ella realiza una presión sobre el mismo, aunque muy pequeña, y que se explica debido al momento lineal de los fotones.
3.1.5 ConclusionesLa más importante conclusión de todo lo estudiado radica en los aspectos gnoseológicos que encierra el hecho de la dualidad de la luz. Al comprender esta dualidad, que se trata de una contradicción dialéctica en sí misma, damos un paso más en la profundización del conocimiento humano sobre la naturaleza del mundo físico, en particular en el micromundo.
Por otro lado, y en este mismo entorno relacionado con la epistemología, se puede señalar la introducción de las concepciones sobre la cuantificación de las magnitudes físicas que caracterizan a un objeto o a un fenómeno (se puede señalar que ya, aún en la región clásica, se tenían casos de cuantificación como es el ejemplo de las ondas estacionarias en cuerdas tensas en las cuales los números de onda y las frecuencias estaban cuantificadas, pero este hecho no tuvo la importancia para el desarrollo ulterior de la Ciencias Físicas en el estudio de los sistemas de muy pequeñas dimensiones).
La Teoría Fotónica constituye en sí misma la conjugación dialéctica de los avances realizados en el estudio del carácter de la luz.
Un aspecto que no se puede pasar por alto es cómo se cumple el Principio de Complementariedad en el caso de la dualidad onda - partícula que presenta la luz.
Por último la comprensión de la Teoría Fotónica pasa por dominar las propiedades de la radiación por temperatura, en especial la del cuerpo negro, y las del fotoefecto, entre otros experimentos, y cómo la TEM no puede dar explicación satisfactoria completa a estos fenómenos.
3.2 Propiedades duales de las micropartículas
Introducción
3.2.1 Discusión inicialCon los avances realizados a principios del siglo pasado sobre la naturaleza dual de la luz, se crearon las bases para el desarrollo de las ideas acerca de la cuantificación en el micromundo como consecuencia de los cambios cualitativos que ocurren en el micromundo con respecto al macromundo.
Una de estas ideas básicas es la relacionada con el carácter dual de las micropartículas, esto es: el comportamiento como partículas y como onda.
Además se trata, en este caso de ondas de probabilidad.
Este comportamiento trae como consecuencia que los conceptos, relaciones y leyes deterministas que se cumplen en el macromundo deben ser sustituidos por los que se manifiestan en el micromundo.
Relación de afirmaciones para ser analizadas antes de estudiar el material:
Solo las ondas electromagnéticas presentan un carácter dual, esto es, además de su comportamiento como ondas tienen un comportamiento corpuscular. Lo contrario, es decir, que las partículas tengan un carácter dual que incluya el comportamiento como ondas no es cierto.
El comportamiento de las micropartículas está gobernado por la onda de probabilidad asociadas a estas partículas en movimiento.
D'Broglie construyó una hipótesis según la cual la longitud de onda de la onda de probabilidad asociada con una micropartícula en movimiento rectilíneo y uniforme se relaciona con el inverso del módulo del momento lineal de esa micropartícula.
Los conceptos, relaciones y leyes que se han establecido para el estudio del movimiento mecánico en el macromundo tienen que ser forzosamente aplicables en el micromundo pues ellos son ciertos.
En la primera década del siglo pasado se fueron madurando las ideas acerca de la dualidad onda - partícula de la luz y a la vez sobre la cuantificación de la energía y otras magnitudes asociadas a los cuántos luminosos. En el año 1913 en que Luis D'Broglie, quien pertenecía a un familia italiana de origen francés y naciera en 1892 y recibiera por estos trabajos el Premio Nobel en 1929, presentó a la Academia de Ciencias de París su trabajo sobre la dualidad de onda - partícula, pero esta vez referida a las partículas. D'Broglie llegó a estas ideas realizando una comparación entre el Principio de la Mínima Acción, que permite una otra formulación de la Mecánica y que es un principio variacional (existen otras formulaciones de la Mecánica además de la de Newton) y el Principio de Fermat, que permite establecer las principales leyes de la Óptica en lo referente a su propagación y que también es un principio variacional. Estos principios se denominan variacionales debido que el principio establece que una determinada integral que se define en dependencia del tipo de fenómeno a estudiar y que es tomada como una magnitud dada, y que en los ejemplos anteriores son la acción y el camino óptico, es tal que su variación es nula. Esto indica que el fenómeno en sí ocurre de forma tal que esa integral sea un extremal. Queda fuera de los propósitos de este curso ver en detalles los elementos del trabajo de D'Broglie. En su lugar veamos algunas ideas comparativas. Para el fotón se tiene que se cumple la expresión:
| La aproximación no relativista. |
que coincide con la habitual relación de dispersión en el caso clásico no relativista.En este caso se tiene que Ec << 2Eo y por ende se puede tomar la relación entre el módulo del momento lineal como:
| El caso relativista exacto. |
En este caso se tiene la ecuación exacta, vista más arriba.
| La aproximación ultra relativista. |
En estos casos se puede escribir:Esta es la aproximación válida para los casos en que se tiene Ec >> 2Eo.
El resultado del conteo de la cantidad de electrones con respecto al ángulo demostró que no ocurría un distribución monótona decreciente a medida que el ángulo aumentaba, como era de esperar sí los electrones tuvieran un comportamiento netamente corpuscular al interactuar con el monocristal de Ni. Se observó que para el ángulo de 54º ocurría un máximo en la cantidad de electrones que se dirigían en esa dirección después de la interacción.
Esto demostraba que se estaba en presencia de un fenómeno de difracción. Lo que confirmaba la parte de la Hipótesis de D'Broglie en cuanto a esa dualidad. Pero estos investigadores trataron de ir más allá y confirmar sí la relación entre la longitud de la onda de D'Broglie y el módulo del momento lineal era la que planteaba la hipótesis. Para ello calcularon la longitud de onda según la fórmula de D'Broglie a partir de que conocían el valor de potencial acelerador que se le aplicó a los electrones. Ese valor lo compararon con el valor de la longitud de onda de los rayos X que producían un patrón de difracción al interactuar con el monocristal de níquel tal que tuviera un máximo bajo el mismo ángulo que el que se produjo cuando los que se difractaban eran los electrones. Y dentro de los errores experimentales permisibles, ambos cálculos coincidieron. Esto permitió comprobar, al menos para estas condiciones, la validez de la Hipótesis de D'Broglie en su totalidad. Más tarde fueron efectuados experimentos con electrones rápidos por, Tompson, y con policristales, por Kikuchi. Todos estos experimentos confirmaron tal hipótesis. Por otra parte Fabricant probó, realizando experimentos con haces de electrones muy poco intensos, en los cuales se podía asumir que los electrones incidían de uno en uno sobre la sustancia cristalina, que el efecto no era el resultado de un comportamiento colectivo de los electrones; si no que, aunque se mantenía la idea sobre el atomismo, es decir, que cada electrón participaba, sin "diluirse" o dividirse, en estos fenómenos; y que sí era que a cada electrón lo afectaba la interacción de la onda de probabilidad al difractarse esta en la sustancias cristalina. Por otra parte, al conocer de los trabajo de D'Broglie, Einstein, señaló que sí estos resultados eran ciertos, debía poderse construir un microscopio con esas ondas. Es por eso que para muchos Einstein es el "padre" de la Microscopía Electrónica. El amplio uso que hacen hoy los científicos y técnicos del microscopio electrónico es una demostración en toda la línea de la veracidad de la Hipótesis de D'Broglie sobre el carácter dual de las micropartículas. Pero, ¿será esta dualidad un atributo solo de las micropartículas?Asumamos el cálculo de la longitud onda de D'Broglie del planeta Tierra en su órbita alrededor del Sol, suponiendo que se trata de un movimiento rectilíneo, para simplificar el análisis. Si tomemos como la rapidez promedio del planeta alrededor del Sol y la masa en reposo de la Tierra y sabiendo que se trata de un movimiento no relativista, podemos calcular longitud de onda que tendría un valor pequeño, debido no solo al valor de la constante de Planck, sino también por el gran valor de la masa terrestre. Entonces se tendría que al comparar este valor con el diámetro medio del planeta, resulta que este diámetro es muchas veces mayor que la longitud de onda asociada al planeta. Esto impide que la Tierra se difracte en un obstáculo que debe ser mucha veces menor que ella.
Este un ejemplo que demuestra que el comportamiento como onda es solo apreciable para los casos de micropartículas que son los casos en loa cuales la longitud de onda de probabilidad es comparable, e incluso mayor, que las dimensiones del objeto.
3.2.3 Principio de indeterminaciónLa principal consecuencia del carácter dual de las micropartículas es el llamado Principio de Indeterminación o Principio de Heisenberg. Werner Heisenberg fue un físico alemán nacido en 1901, fue uno de los científicos que contribuyeron al desarrollo de la Mecánica Cuántica. Por todos estos trabajos de creación de esta rama de las Ciencias Físicas recibió el Premio Nobel en 1932.
Veamos una forma de analizar el contenido de este principio a partir de un caso particular de difracción de electrones por una abertura, que tomaremos como un abertura rectangular plana para acercarnos a la descripción de lo que ocurre con ayuda de ecuaciones semejantes a las ya estudiadas para el caso de la difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular.
Supongamos que un haz de electrones monocromáticos, lo que significa que todos tienen la misma rapidez, incide sobre una pantalla, opaca al paso de los electrones, que tiene una rendija de ancho b. Tomemos un sistema de referencia de forma tal que el haz de electrones se mueva en el sentido positivo del eje de la y. Además que la pantalla quede en paralela al eje de la x. Esta situación se muestra en la figura:
donde el vector py representa el momento lineal inicial de cada una de los electrones del haz monocromático (lo que indica que todos tiene la misma velocidad y que están todos animados de una movimiento rectilíneo uniforme) incidente sobre la abertura de ancho b y el vector p representa el momento lineal de cada uno de los electrones que se difractan bajo un ángulo q.
Consideramos que en el gráfico el ángulo representado es el correspondiente a un mínimo de difracción de orden m. Entonces la según la ecuación para la condición de mínimo de difracción establece que:
Pero el seno de este ángulo es aproximadamente la igual a la tangente, lo que queda garantizado por el pequeño valor de la longitud de onda de D'Broglie y siempre que tomemos un orden pequeño.
Entonces se tiene:
donde Dpx es la variación que experimenta el momento lineal a lo largo del eje de las x debido a la difracción, que a la vez es consecuencia del carácter dual del electrón.
Mediante la Hipótesis de D'Broglie se puede cambiar py por h/lB, quedando:
Como el ancho b de la rendija es el error en la determinación de la posición de la partícula o electrón a lo largo del eje de la x, perpendicular a la dirección inicial de incidencia del haz, se tiene que b es igual a Dx. Así se tiene en general una desigualdad, para el orden de difracción tal que se tenga el primer mínimo, punto donde la probabilidad de llegar una electrón es teóricamente nula, dada por:
Nota: existen otras formas más rigurosa de obtener esta desigualdad, pero la que se describe más arriba no hace perder rigor. Una de esas maneras es con las formas cuadráticas de las indeterminaciones.
Esta desigualdad se interpreta como sigue: El producto de la indeterminación en la posición de la partícula a lo largo de una dirección dada por la indeterminación de la proyección del momento lineal de la partícula a lo largo del mismo eje o dirección es siempre mayor que una magnitud (en algunos casos se escribe esta expresión en términos de la constante de Planck cruzada que se igual a la constante de Planck entre 2p) muy pequeña, pero distinta de cero. Esto indica que no se pueden conocer a la vez los valores de la posición a lo largo de una dirección dada y la proyección del momento de lineal a lo largo de esas misma dirección. Y este es el contenido del Principio de Indeterminación en cuanto a las coordenadas y el momento lineal.
Debe señalarse que este resultado es consecuencia del carácter dual de las micropartículas y no es indicativo de que se trata de una limitación, por pobre desarrollo de los equipos de medición conque se miden estas magnitudes.
Esto se puede extender a las otras direcciones perpendiculares, a lo largo de los ejes cartesianos por ejemplo.
Mucho se ha discutido con relación a la interpretación epistemológica de esta conclusión. Para los agnósticos resultaba la prueba de que el mundo era incognoscible como postula, pues ya disponían al menos de un ejemplo.
Sin embargo el verdadero significado es que este principio marca el límite de aplicación de los conceptos y leyes que se han estudiado para el macromundo al tratar de estudiar el micromundo con los mismos conceptos.
Veamos que para el caso de partículas no relativistas se puede sustituir la indeterminación de la proyección del momento lineal a lo largo de una dirección dada por el producto de la masa en reposo de la partícula por la indeterminación en la proyección de la velocidad a lo largo de esa misma dirección. Así:
Ahora si intentamos aplicar esta expresión al caso del planeta Tierra, que en su desplazamiento a través de la Galaxia puede ser tratada como una partícula. Como al masa en reposo de la Tierra es de cercana a 5,983·1024 kg y recordando el valor de la constante de Planck se llega a que el producto de la indeterminación de la posición a largo de una dirección perpendicular a la dirección en que se mueve el planeta en su movimiento en la Galaxia y la indeterminación en la proyección de la su velocidad a lo largo de esas dirección perpendicular a la dirección del movimiento deba ser mayor que una potencia de 10 igual a menos 58. Esto es un número extraordinariamente pequeño. Por otra parte si suponemos que la indeterminación en la velocidad a lo largo del eje perpendicular al movimiento es del orden de 1 m/s (que parece una indeterminación bastante pequeña) se tendría una indeterminación en la posición a lo largo de una dirección perpendicular al movimiento sería no menor de 10 a menos 58 m. Esta es una magnitud inmedible. Es decir, para el caso con el que estamos ejemplificando carece de significación el Principio de Indeterminación.
Pero consideremos ahora un electrón no relativista. Como la masa en reposo del electrón es igual a 9,11·10-31 kg, se tiene que el producto de las correspondientes indeterminaciones debe ser mayor que un número que es del orden de 10 a la menos 4. Ya este no es un número tan pequeño. Si la tenemos una indeterminación de 1 m/s en la proyección de la velocidad a lo largo de una dirección perpendicular a la dirección del movimiento, se tendrá que la indeterminación en la posición a largo de esa dirección es no menor que una décima de milímetro, magnitud que es mucho mayor que las dimensiones del propio electrón. Entonces cobra extraordinaria significación e importancia este principio que marca hasta donde son aplicables al micromundo nuestros conceptos logrados establecer en el estudio físico del macromundo.
Véase que existen diferencias cualitativas entre el macromundo y el micromundo. Y que no es solo el cambio de las dimensiones de los objetos y las distancias entre ellos en sus interacciones, sino que estos cambios dimensionales, incluida la pequeñez de las masas de esos microobjetos, traen cambios cualitativos importantes, esto es no se trata de un simple cambio de escala.
Otra expresión que se tiene para el caso de la indeterminación de la energía y la indeterminación en el tiempo es la que sigue:
Aquí la interpretación es como sigue: si se requiere un tiempo Dt para medir la energía de un determinado sistema (estas mediciones generalmente se hacen a partir de interacciones que se producen por parte del sistema con otro y estas interacciones tienen un tiempo de duración al que llamaremos Dt), entonces se comete un error en la medición de la energía del sistema igual a DE. Un ejemplo de esto es cuando se pretende medir la energía del electrón en un determinado estado en el átomo de hidrógeno, siempre se cometerá un error en la medición de la energía de ese nivel igual DE cuyo producto por el tiempo de la medición (interacción) debe ser superior a un número muy pequeño, pero no nulo.
Estas cuatro inecuaciones que hemos visto asociadas con el Principio de Indeterminación no son las únicas. En general el Principio garantiza la existencia de estas inecuaciones para los pares de magnitudes que en la Mecánica Clásica se conocen como variables conjugadas. Un ejemplo de esto es la indeterminaciones de una componente del momento angular a lo largo de una eje dado y la indeterminación en el ángulo de giro alrededor de ese mismo eje.
Una consecuencia directa del carácter dual de la micropartículas y del Principio de Indeterminación es que existen límites de validez de los conceptos de la Física que se utiliza para estudiar el macromundo, cuando se desea estudiar el micromundo.
Hay que señalar que se trata de hasta dónde se pueden aplicar o no estos conceptos. Así, por ejemplo, para un electrón moviéndose en un tubo de pantalla de un televisor o en la cámara de un microscopio electrónico existen las suficientes precisiones (más bien el proceso permite las suficientes imprecisiones) como para que se pueda tratar a este electrón como habitualmente se hace en el macromundo. Sin embargo, para ese mismo electrón enlazado al átomo, esto es confinado a una pequeña región del espacio, ya no son aplicable los conceptos habituales para el macromundo.
Veamos algunos de estos conceptos y magnitudes:
| El concepto de trayectoria de una partícula: en el micromundo no se puede conocer con toda precisión la posición de una partícula a lo "ancho" de su movimiento pues a medida que "cerramos " el "ancho" de la trayectoria se va indeterminando la componente de la velocidad en las direcciones perpendiculares al movimiento inicial lo que hace que la partícula se nos "escape" de la trayectoria. Otra forma de ver cómo es que no se puede usar el concepto de trayectoria para las micropartícula encerrada en una pequeña región, es que el concepto de trayectoria implica que en cada punto de ella se conozcan con toda precisión la velocidad de la partícula y el vector posición de la partícula, pero esto no lo permite el Principio de Indeterminación. |
| En el micromundo no se puede definir la velocidad como la derivada total temporal de vector de posición de la partícula en un sistema de referencia dado, ya que para hacer esta definición hay que conocer con toda precisión a la vez el radio vector de la partícula y, derivándola de él, la velocidad y esto no lo permite el Principio de Indeterminación. Esto no quiere decir que las micropartículas confinadas a pequeñas regiones no tengan velocidad, pero la velocidad no se define a partir de esa derivada. |
| Al no poderse aplicar los dos conceptos anteriores, queda claro que en el micromundo no se cumple al menos la Segunda Ley de Newton. Esto es así pues al resolver la ecuación esto implica conocer dos condiciones iniciales, que pueden ser el vector posición inicial y la velocidad o el momento lineal inicial con toda precisión a la vez, cosa no permitida por el principio que nos ocupa. |
Primero es conocida la ley de fuerzas. Esto significa que para todo tiempo, anterior o posterior y en cada punto de un sistema de referencia inercial dado, es conocida la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Segundo son conocidas en un tiempo dado dos condiciones iniciales que pueden ser, por ejemplo, el vector posición y la velocidad o el vector posición y el momento lineal (puede ser otra pareja de magnitudes). Tercero, aplicando la Segunda Ley de Newton (u otras ecuaciones de algunas otras formulaciones de la Mecánica Clásica) se encuentra la expresión de la dependencia del radio vector o vector de posición en función del tiempo.Esto nos lleva al siguiente problema:
Estudiemos una vez más en qué consiste el problema mecánico para el movimiento de una partícula, en el sentido clásico.
Cuarto, a partir de esto se puede encontrar la forma de la trayectoria y cualquier otra magnitud en cada tiempo para el cual la ley de fuerza fuera la misma. Por ejemplo para las partículas nos relativistas tales magnitudes pueden ser: la velocidad (por derivación total con respecto al tiempo del radio vector); el momento lineal (multiplicando la velocidad por la masa); la energía cinética de la partícula (multiplicando la masa de la partícula por el cuadrado de la rapidez y dividiéndola entre dos, etc.
Esto es lo que se llama "determinismo" en la Mecánica Clásica, pues se puede determinar mediante esta metodología, todo lo referente a la partícula y su movimiento mecánico.
(Existen métodos para cuando no se conoce la ley de fuerzas, pero se conoce la trayectoria. Estos métodos son los que se aplican para estudiar el movimiento de los cuerpos celestes, como es el caso de los cometas.)
Pero al no poder aplicar estas ideas, leyes y conceptos a las micropartículas confinadas en pequeñas regiones espaciales, se crea el problema de dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿cómo estudiar el movimiento de las micropartículas en el micromundo?
3.2.4 El problema mecanocuántico3.2.5 ConclusionesYa hemos visto las dificultades para estudiar clásicamente el movimiento de las micropartículas confinadas en pequeñas regiones del espacio como consecuencia directa del carácter dual de las micropartículas, particularmente en su aspecto de ondas de probabilidad, y del Principio de Indeterminación.
La solución de este problema científico debe partir del reconocimiento de ese carácter dual de las micropartículas, en particular su aspecto ondulatorio.
Existe un método para conocer la longitud de onda, si se conoce el momento lineal, para micropartículas que estén animadas de un movimiento rectilíneo uniforme, las cuales tienen asociadas una onda de D'Broglie que es plana y monocromática, pero ¿cómo se puede llegar a conocer las características de ondas que están asociadas a una micropartícula que tenga otro tipo, más real, de movimiento?
Por otro lado ¿qué información ulterior nos puede brindar el conocimiento de las características de las ondas asociadas con partículas que tengan otras formas de movimiento?
En el caso de las partículas confinadas a pequeñas regiones espaciales, al no poder usar el concepto de trayectoria, ¿cómo podemos localizar a las mismas?, y ¿por cuál concepto podemos sustituir al de trayectoria en el micromundo?
Este es precisamente el problema mecanocuántico para una partícula.
El problema mecanocuántico no relativista para una micropartícula que se no tenga grandes valores de la energía cinética comparada con su energía en reposos (además estas partículas han de ser bosones) consiste en encontrar las funciones de ondas que describen los estados cuánticos de la micropartícula, incluida su variabilidad en el tiempo y el espacio, y a partir de ellas se pueden calcular los valores medios o valores bien definidos de las distintas magnitudes físicas que cobran significado para esos estados.
Estas ideas se pueden generalizar a los sistemas de partículas.
Como se pudo establecer las partículas en el micromundo presentan un doble carácter, esto es, tiene un comportamiento como corpuscular o de ondas, en este caso de ondas de probabilidad.
De nuevo es válido el llamado Principio de Complementariedad, pues ambos caracteres no puede manifestarse a la vez. Esto significa que la partícula no puede, a un tiempo, manifestar ambas características. Dependerá de las características de la partícula, tales como su energía o rapidez; lo que condicionaría cuán corta sería su longitud de onda de D'Broglie; y del tipo de interacciones que tiene con otros sistemas.
Como principal consecuencia de este doble carácter, y en particular del carácter ondulatorio, es el llamado Principio de Indeterminación. Este principio establece los límites de validez de los conceptos y leyes aplicables al macromundo en cuanto a los movimientos mecánicos.
Es importante comprender que al disminuir las dimensiones de las regiones en que se localizan las partículas y sus propias dimensiones y otras características, tales como la masa, etc., se tienen cambios que rebasan los aspectos cuantitativos y se producen profundos cambios cualitativos que requieren del surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias Físicas para dar explicación a este sector de la realidad.
Por otra parte la sociedad humana ha aplicado estos avances de forma exitosa.
En primer lugar en el propio desarrollo de los aspectos epistemológicos y en el avance de la ciencia, al aparecer nuevas ramas de las ciencias.
También en la producción directa de instrumentos de gran utilidad a la ciencia y a la técnica, como son los microscopios electrónicos, neutrónicos, etc. Con la ayuda de estos instrumentos el hombre ha podido penetrar más aún en el micromundo y no solo en el campo de las Ciencias Físicas. Así, por ejemplo, serían impensables los avances de la Microbiología y la Genética sin la existencias de todo este instrumental que aprovecha el doble carácter de las ondas.
3.3 Elementos de Mecánica Cuántica
Introducción
3.3.1 Discusión inicialComo consecuencia del doble carácter de las partículas y que sea para las micropartículas confinadas en muy pequeñas regiones los casos en que se manifieste con más frecuencia el aspecto ondulatorio, se tiene que no se puede extender la aplicación de los conceptos construidos en el estudio del movimiento de las partículas en el macromundo, así como los principios y leyes que se satisfacen en el macromundo, a esos casos en el micromundo.
Por tanto había que construir una nueva teoría que permitiera explicar el comportamiento mecánico de las micropartículas. Esta nueva teoría tenía que tomar en cuenta el carácter dual de las micropartículas y sobre todo su aspecto ondulatorio.
En esta conferencia estudiaremos las bases de esa teoría llamada Mecánica Cuántica o Mecánica Ondulatoria.
Relación de afirmaciones para ser analizadas antes de estudiar el material:
No existe ningún vínculo entre las soluciones que se tienen para un determinado movimiento de una micropartícula que brinda la Mecánica Cuántica y la que brinda la Mecánica Clásica.
Se puede afirmar que como la Mecánica Cuántica toma en cuenta el comportamiento dual de las micropartículas y en especial su aspecto ondulatorio la ecuación fundamental de esa nueva teoría es una ecuación de onda.
3.3.2 Ecuación de Schrodinger
Conociendo las dificultades de principio para aplicar los conceptos del macromundo al micromundo que traen como consecuencia que no se puede aplicar el determinismo mecanicista a la resolución del problema mecanocuántico y como las micropartículas presentan un doble aspecto, y un particular el aspecto ondulatorio, que hace que las leyes del movimiento en el micromundo sean de carácter probabilístico, es que surge la necesidad de una nueva teoría para resolver estos problemas.
Por otra parte el carácter probabilístico de las leyes del movimiento del micromundo no significa que estas leyes no sean objetivas, ni significa que el principio de causalidad no se cumpla en el micromundo.
Por otro lado debemos aclarar que este carácter probabilístico no tiene el mismo sentido que el que presentan los aciertos de la Física en el tratamiento de los sistemas de muchas partículas en el macromundo, como son las leyes que se obtienen para los gases y otros sistemas físicos.
En aquellos casos se recurre al tratamiento probabilístico y estadístico debido a que como estos sistemas presentan una gran cantidad de partículas, entonces, el resolver las ecuaciones del movimiento para todas ellas, desde las posiciones mecanoclásicas, se convierte en una tarea imposible por al gran cantidad de ecuaciones a resolver con su respectivas condiciones iniciales, aunque en principio el problema puede ser resuelto (con el cálculo aproximado pues se demuestra que ya el problema de tres cuerpos que interactúan no tiene solución por cuadratura).
Sin embargo, para el caso de la solución del problema mecánico en el micromundo las propias leyes que lo rigen son probabilísticas. Es por ello que la aplicación de la probabilidades y la Estadística es insoslayable de principio.
Una nueva teoría para explicar el movimiento mecánico en el micromundo tenía que tomar en cuenta el carácter dual de las micropartículas.
Es por ello que se tienen dos premisas importantes para esta teoría, que son:
| Considerar el Principio del Atomismo que establece que las partículas en el micromundo, a pesar de estar gobernadas en sus interacciones por las ondas de probabilidad, constituyen entes indivisibles en esos procesos. En caso que la partícula sufra una partición, el problema es ahora para esas otras partículas. Este principio, establecido a partir de la observación de múltiples experimentos, garantiza, por ejemplo, que el comportamiento de un electrón en un átomo no pueda ser considerado como si el electrón se encontrara "disuelto" alrededor del núcleo; o que si un electrón incide sobre una pantalla opaca al paso de los electrones y la cual tiene dos rendijas, el electrón no puede "difuminarse" y pasar a la vez por la dos rendijas. |
| El estado del movimiento de una micropartícula debe ser completamente descrito por la onda de probabilidad que está asociada es electrón en sus interacciones con otros entes físicos en la vecindad. Por lo tanto esa nueva teoría debe permitir encontrar las formas concretas para la onda de probabilidad y cómo a partir de conocer la forma concreta de esa onda se pueden hallar los parámetros que caracterizan el estado de la partícula. |
Nótese que en estas dos premisas está contemplada la doble naturaleza de las micropartículas.
Así surgió a principios del siglo pasado la rama de la Ciencias Físicas denominada Mecánica Cuántica u Ondulatoria y ella engloba a las siguientes ramas: Electrodinámica Cuántica (Cromodinámica); Mesodinámica; Teoría Cuántica General de los Campos; Teoría de los Quarks.
Los primeros investigadores en esta nueva rama fueron Schrodinger; Heisenberg, Dirac y otros.
Existen dos tipos de micropartículas atendiendo a los posibles valores de una proyección del momento de espín a lo largo de una dirección arbitraria. (Más tarde se aclarará el significado de esta magnitud).
Los bosones son aquellas partículas para las cuales esta proyección toma valores iguales a un número entero multiplicado por la constante cruzada de Planck. Estas partículas obedecen a la estadística de Bosse - Einstein.
Los fermiones son aquellas micropartículas para las cuales esta proyección toma valores iguales a un número semientero de la constante cruzada de Planck. Estas partículas obedecen a la estadística de Fermi - Dirac.
La ecuación fundamental de la Mecánica Cuántica para el caso de los bosones no relativistas es la ecuación de Schrodinger. Esta ecuación, de la misma forma que ocurría con la ecuaciones de Newton, no puede ser deducida teóricamente a partir de otras leyes más generales. Esta ecuación y sus resultados se validan a partir en las aplicaciones prácticas, que no solo son los experimentos realizados bajo condiciones controladas en los laboratorios, sino que incluyen, y en primer lugar, la práctica social, que a la vez se determina básicamente por las aplicaciones en la producción material de la sociedad. El dominio que ha alcanzado la sociedad humana sobre la energía atómica, las aplicaciones del láser, la producción de materiales semiconductores con las propiedades tales han permitido del desarrollo impetuoso de la Electrónica y Microelectrónica, etc., son algunos de los ejemplos de las múltiples aplicaciones que demuestran la validez de los planteamiento básicos de la Mecánica Cuántica.
La expresión de la ecuación general de Schrodinger es como sigue:
donde en esta ecuación la constante cruzada de Planck es igual a la constante de Planck dividido entre 2p; m0 es la masa en reposo de la micropartícula, y(r,t) es la función de onda que caracteriza el estado mecanocuántico de la micropartícula, y que es función de del vector de posición r y del tiempo t; el operador Ñ2 es el operador de Laplace; U es el operador de la energía potencial, que es un operador de multiplicación (en la representación de las coordenadas) y H es el operador llamado Hamiltoneano.
En cuanto al operador de Laplace expresado en las coordenadas cartesianas es de la forma:
La ecuación de Schrodinger es una ecuación de onda cuya solución es la función de onda que caracteriza el estado cuántico de la micropartícula. La solución de esta ecuación requiere de las condiciones de fronteras, relacionadas con los límites espaciales del movimiento de la micropartícula, e iniciales, relacionadas con el comportamiento inicial del sistema.
En la forma misma de la ecuación de Schrodinger se aprecia que el principio de causalidad queda contemplado pues la ecuación relaciona las dependencias de las variaciones locales temporales de la función de onda con la forma en que el operador de la energía actúa sobre esa misma función de onda. Esto indica que la forma concreta de la función de onda, tanto en sus dependencias espaciales y temporales dependerá de las condiciones bajo las cuales la micropartícula interactúe con otros sistemas.
Existen una serie de casos especiales. Estos son los llamados estados estacionarios, que tienen la característica que son estables en el tiempo y para los cuales los valores de la energía de los distintos estados permitidos para la partícula son constantes en el tiempo. Para que un estado sea estacionario ha de cumplirse necesariamente la condición siguiente: la energía potencial no puede depender explícitamente del tiempo. Entonces, como la energía cinética nunca depende explícitamente del tiempo, el operador hamiltoneano, que el operador de la energía mecánica total, no dependerá explícitamente del tiempo.
En estos casos se puede separar las variables espaciales y temporales en la ecuación de Schrodinger de forma tal que al expresar la función de onda como el producto:
donde se ha separado la parte de la dependencia espacial de la función de onda de la parte que expresa su dependencia temporal, y sustituyendo en la ecuación de Schrodinger se llega a las ecuaciones:
y
donde E es una constante, que tiene el significado de ser la energía mecánica total de la micropartícula.
De la segunda de estas ecuaciones se establece, al resolverla que la parte de la función de onda que expresa su dependencia temporal, para todos los estados estacionarios, tiene la forma:
Con esto se tiene que para todos los estados estacionarios la parte de la función de onda que expresa su dependencia con el tiempo es una función oscilante, con frecuencia angular igual a la relación entre la energía total de la partícula y la constante cruzada de Planck, del tiempo, teniendo como parámetro el valor, constante, de la energía de la micropartícula en el estado en concreto en que se halle.
Para el caso de la ecuación de Schrodinger para la parte espacial de la función de onda para los estados estacionarios, esto es:
se tiene que esta ecuación tiene una familia de soluciones para cada expresión concreta para la energía potencial de la partícula.
Esto se aprecia mejor si se toma en cuenta que si es solución de la ecuación A también lo será siempre que A sea constante con respecto a las coordenadas y al tiempo.
Para garantizar la unicidad de la solución se ha de resolver la ecuación de más arriba tomando en cuenta las condiciones de frontera y la condición de normalización de la función de onda que se expresa como sigue:
donde V es el volumen de la región a la que esté limitado el movimiento de la micropartícula. Incluso este volumen puede ser considerado infinito.
La búsqueda de la función de onda, en su parte de dependencia espacial, para los estados estacionarios se convierte así en un problema de autovectores (autofunciones) y autovalores. De esta forma al resolver al ecuación, conjuntamente con la condición de normalización, se obtienen las funciones de onda, en su parte que expresa sus dependencias con las coordenadas espaciales, que son autofunciones de la energía, lo que significa que en los estados descritos por estas funciones de onda la energía toma valores bien definidos, y a la vez los autovalores del operador hamiltoneano, que son los valores de la energía permitidos.
De paso, al resolver la ecuación de Schrodinger se halla si el espectro de los autovalores de la energía es discreto o continuo. Se demuestra que el primer tipo de espectros se obtiene cuando la partícula está ligada a un sistema de modo que queden confinadas a una región limitada del espacio, por ejemplo para los electrones en los átomos. El segundo tipo se obtiene para los casos de partículas que no quedan confinadas, tales como el electrón que se libera del átomo al ionizarse este.
Veamos la interpretación de la función de onda en sus dependencias espaciales y temporales y sus propiedades.
Max Born fue quien primero intentó una interpretación a la función de onda. La idea parte de lo que ocurría en el efecto fotoeléctrico cuando tanto desde el punto de vista de al TEM como desde la Teoría Fotónica se logra explicar la propiedad experimental del efecto relacionada con la dependencia lineal entre la intensidad de la corriente de saturación de los fotoelectrones con la intensidad de la luz que llega a una celda fotoeléctrica. Producto de esa coincidencia se pudo establecer la ecuación siguiente:
donde I es la intensidad de la luz incidente; n es el número de fotones por unidad de tiempo y de área de la superficie perpendicular a la dirección de incidencia de la luz; f es la frecuencia de la luz; k es una constante de ajuste y E0 es la amplitud de la onda electromagnética correspondiente.
Por semejanza, y suponiendo que la onda electromagnética es la onda de probabilidad de del fotón, se tendría que el módulo de la función de onda que describe un estado de la micropartícula, elevado al cuadrado es proporcional a la densidad volumétrica de probabilidad de hallar a la partícula en un punto y tiempo dados.
Esto indica que un infinitesimal de probabilidad de hallar a la partícula en un punto dado y en un tiempo dado viene expresado por:
Para la probabilidad en una volumen V sería:
Tomando en cuanta esto y el hecho de que la función de onda tiene que satisfacer la ecuación de Schrodinger se puede establecer las siguientes propiedades de la función de onda:
| La función de onda y su primeras derivadas con respecto a las coordenadas (y con respecto al tiempo) son continuas. |
| La función de onda tiene que ser acotada. |
| La función de onda tiene que ser unievaluada. |
| La función de onda debe satisfacer la condición de normalización. |
La explicación de las razones para que estas propiedades se cumplan es como sigue:
La primera de estas propiedades debe ser cumplida para que existan las primeras y segundas derivadas con respecto a las coordenadas espaciales y pueda establecerse la ecuación de Schrodinger. La segunda de estas propiedades está relacionada con el hecho de que si la función no fuera acotada en todos los puntos y todos los tiempos para la que esté definida, la probabilidad de encontrar a la partícula divergiría y esto es un imposible físico. La tercera debe cumplirse pues de existir más de un valor para la función de onda en cada punto, la probabilidad de hallar la partícula en ese punto tendría más de un valor y eso es imposible físicamente. Por último, la cuarta propiedad es consecuencia del hecho de que la partícula, de existir, tiene que estar en alguna región del espacio.
Por otra parte a partir de la función de onda se puede llegar a conocer los autovalores de las magnitudes que toman valores bien definidos, a la vez que la energía, para esos estados.
Así, para los casos de los estados estacionarios, para los cuales la densidad de probabilidad de hallar la partícula en un punto del espacio no dependerá del tiempo, se tiene que se pueden definir un grupo de operadores que caractericen, cada uno de ellos, a un magnitud física determinada, tal y como la energía total, la energía cinética y la energía potencial están representados por los correspondientes operadores.
En general cuando se aplica uno de esos operadores sobre la función de onda se obtiene una nueva función. Pero para los casos en que al actuar el operador dado sobre la función de onda, el resultado fuese un múltiplo de la propia función se obtiene una expresión del tipo:
donde el símbolo F con el palomita invertida encima denota el operador de cierta magnitud física y F es un valor de esa magnitud.
Esta ecuación es entonces una ecuación de autovalores y autofunciones o autovalores y autovectores. Se puede interpretar que las autofunciones de un operador dado se constituyen en una base del espacio de todas las funciones de onda. Así, cualquier función de onda puede quedar expresada como una combinación lineal de una de esas bases, esto es, como una combinación lineal de las autofunciones de un determinado operador. Un caso particular de esto lo constituyen los desarrollo en serie de Fourier, La ecuación anterior es semejante en este sentido a la ecuación de Schrodinger.
Se puede apreciar fácilmente que como estas son las mismas autofunciones que las del operador de la energía, se puede asegurar que en estos estados cuánticos la magnitud representada por el operador F toma valores bien definimos para estos estados estacionarios y que además se pueden determinar, con toda precisión, a la vez que los valores de las energías para cada estado.
Sí los valores de F en la ecuación de más arriba pueden ser cualesquiera, se dice que esta magnitud física tiene un espectro continuo y sí los valores de F en la ecuación son solo valores determinados, se dice que la magnitud tiene un espectro discreto.
Pero aún en los casos en que al actuar el operador sobre la función de onda no se obtenga una ecuación de autofunciones y autovalores, se puede calcular el valor medio de la magnitud física en cuestión en esos estados a través de la expresión:
donde la función marcada con un asterisco representa la compleja conjugada de la función de onda y la integral se realiza por todo el volumen en cual se puede hallar la partícula, que pude llegar a ser infinito.
3.3.3 Aplicaciones
| Partícula libre |
| Pozo de potencial |
| Oscilador armónico |
3.3.3.1 Partícula libre
Una de las aplicaciones más sencillas de la ecuación de Schrodinger es el caso de la partícula libre. Para esta partícula la energía potencial es cero. Como se aprecia se trata de una energía potencial que no depende explícitamente del tiempo y por tanto los estados posibles para tal partícula serán estados estacionarios.
De hecho ya sabemos que la parte de la función de onda que nos da la dependencia del tiempo será de la forma:
donde solo es necesario para completar la información con respecto a la dependencia temporal, establecer cuáles son los autovalores de la energía.
Veamos el tratamiento de la parte de la función de onda que nos brinda la dependencia de las coordenadas espaciales.
Supongamos un sistema de referencia dado y como se trata de una partícula libre, el problema se reduce a una dimensión escojamos el sistema de referencia de forma que esa dimensión quede representada por el eje de las x.
La ecuación para los estados estacionarios queda en este caso en la forma:
Para esta ecuación se propone una solución del tipo:
donde A es la amplitud de la onda de probabilidad y k es el número de onda que cumple la relación siguiente con la energía:
donde p es el módulo del momento lineal y Ec es la energía, que en este caso, como la energía potencial es nula, es igual a la energía cinética.
Entonces se tiene para la energía, que es igual a la energía cinética cumple que:
Nótese que la relación es idéntica a la que se tiene para el caso macroscópico no relativista.
Además aquí se tiene que para estos estados toman, a la vez, valores bien definidos la energía y el momento lineal, pues las autofunciones de la energía son las mismas que las del operador del momento lineal. Tal operado (en la representación de las coordenadas) tiene la forma:
donde el operador nabla significa el gradiente.
Y para el caso que nos ocupa de una partícula que solo puede moverse en una dimensión:
Para esta partícula la longitud de onda, pues se trata de una onda sinusoidal simple, es se relaciona con el número de ondas y con el módulo del momento lineal de tal suerte que:
que coincide con la expresión que se tenía en la Hipótesis de D'Broglie.
Para esta partícula, como el momento lineal está bien definido, la indeterminación en la posición de la partícula a lo largo de la dirección del movimiento es infinita. Esto significa que la partícula puede estar con igual probabilidad en cualquier punto entre menos infinito y más infinito sobre esa recta.
Por otro lado, al intentar aplicar la condición de normalización para calcular la amplitud de la onda, se tiene la dificultad que la integral diverge.
Para evadir ese problema se toman las llamadas condiciones periódicas de frontera. Así se define una longitud típica L tal que la función de onda y su dependencia con la posición evaluadas en los extremos de ese intervalo se repitan. Entonces la condición de normalización se rescribe de una manera especial. (Se dice que la función de onda queda normalizada a la Delta de Dirac, que es una función especial)
3.3.3.2 Pozo de potencial
Otra de la aplicaciones de la ecuación de Schrodinger más sencillas es el estudio de los estados de una partícula ligada a una región unidimensional de extensión a. Para una partícula así la energía potencial en puntos por fuera y en los extremos de ese intervalo es infinitamente grande por lo que la partícula tiene una probabilidad nula de estar fuera del intervalo mencionado, incluyendo los extremos.
Esto hace que si se fuera a hacer una representación gráfica de la energía potencial vs. la posición de la partícula se tenga el llamado pozo de potencial rectangular de paredes infinitas.
Tal gráfica se representa en la figura:
Para este caso se puede escribir la función energía potencial de la forma siguiente:
Entonces la ecuación de Schrodinger para los estados estacionarios de este tipo de partículas enfrentadas a este potencial toma la forma:
con las condiciones de fronteras siguientes:
La solución que se ha de proponer ha de tomar en cuenta las ondas que se propagan en el sentido en que crece el eje de las x y las que se propagan en el sentido contrario. Así:
donde A y B son las amplitudes de las ondas que se propagan en el sentido positivo del eje de las x y en el sentido contrario respectivamente y k es el número de ondas y viene dado por:
donde la energía Ec es toda cinética y p es el módulo del momento lineal de la partícula.
Aplicando la primera de las condiciones de frontera a la solución propuesta se llega a que B = - A. Entonces se tiene que:
donde i es la raíz cuadrada de menos uno.
Aplicando ahora la segunda condición de frontera se llega a que los valores del número de onda, y por ende los del módulo del momento lineal y los de la energía cinética de la partícula, están cuantificados, cumpliéndose que:
donde no se puede comenzar de cero pues esto haría que la parte espacial de la función de onda fuera cero y esto significaría no tener partícula alguna encerrada en el pozo.
Así la función de onda en su parte espacial sería:
Si sustituimos esta forma para la función de onda en la ecuación de Schrodinger obtenemos los autovalores de la energía:
donde se aprecia al cuantificación de los valores de la energía cinética de al partícula. Y esto no se compara con lo que sucede en el macromundo, pues ahí una partícula confinada a moverse en una sola dirección en un segmento de recta dado, tiene valores de la energía cinética que conforman un continuo.
Por otra parte existe otro hecho que no tiene análogo en la situación correspondiente en el macromundo. Como no se puede tener el valor de n igual a cero, no existirá el valor cero para la energía cinética y esto hace que la micropartícula encerrada en el pozo de potencial no pueda estar en reposo. Esto es, no existe el estado con energía cinética nula.
Sin embargo, si se calcula la diferencia de energía relativa entre dos niveles consecutivos, se llega a que:
que en el límite cuando n tiene a infinito, tiende a cero, indicando con esto que para los valores grandes el número cuántico n, la diferencia relativa de niveles de energía entre los estados contiguos tiende a cero y se pudiera considerar como un continuo el espectro de energía.
Otra forma de ver esto es considerando que cuando la constante de Planck pueda ser tomada como tendiendo a cero entonces los niveles de energía podrían ser tomados como un continuo.
Por otro lado si la masa de la partícula o el ancho del pozo aumentarán, se llegaría a la misma consideración sobre el carácter continuo del espectro energético, tal y como ocurre en el macromundo.
A esto es un ejemplo de llamado Principio de Correspondencia que establece que si una teoría nueva, que tiene el mismo dominio de aplicación que la vieja teoría, es verdadera, ella engloba a la anterior teoría como un caso límite de esta nueva teoría. Esto principio es considerado el segundo criterio de verdad.
Ahora nos corresponde evaluar la amplitud de la onda a partir de la condición de normalización:
de donde:
Ahora se puede escribir la función de onda completa como:
donde kn es el número de onda y wn es la frecuencia angular de la onda de probabilidad asociada con esta micropartícula confinada en el pozo de energía potencial rectangular de paredes infinitas. Ambos parámetros de la onda dependen del valor de la energía y por ende del número cuántico n.
Si se realiza una gráfica del módulo al cuadrado de la función de onda que es igual a densidad, en este caso se trata de una densidad lineal, de probabilidad y atendiendo al nivel de energía, esto es, al valor del número cuántico n, se tendría lo siguiente:
Nótese que para el primer estado (n=1) la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula es máxima en el punto central del pozo y es cero en los extremos del pozo.
Para el segundo nivel (n=2) que constituye de por sí un estado excitado, la densidad probabilidad de hallar a la partícula en el punto central de pozo es nula y es máxima a una distancia igual a la cuarta parte de la longitud total del pozo medida desde cada uno de los extremos del pozo.
Para el tercer nivel de energía, existen dos puntos interiores al pozo para los cuales la densidad de probabilidad de hallar a la partícula es nula.
Esto permite analizar un ejemplo de cómo el concepto de trayectoria es inaplicable al micromundo. Así, para el segundo nivel de energía la partícula no puede estar en el centro del pozo, pues la probabilidad de hallarla en ese punto es nula. Sin embargo la partícula tiene la densidad máxima de ser encontrada en los dos puntos a medio camino entre los extremos del pozo y su punto central. Entonces la partícula puede estar en cualquiera de las dos mitades del intervalo o ancho del pozo, pero nunca puede pasar por el centro del pozo. Es evidente que no se puede aplicar el concepto de trayectoria en este caso.
Los pozos de potenciales más reales no tiene la forma rectangular que aquí se ha descrito. Esto hace que las soluciones de la ecuación de Schrodinger sean más complejas. Pero siempre esta primera aproximación a los casos de partículas confinadas nos permite extraer un grupo de conclusiones que son válidas, con las consiguientes diferencias, para los otros casos.
3.3.3.3 Oscilador armónico
3.3.4 ConclusionesUn caso de mucho interés es el del llamado oscilador armónico.
Si suponemos que la energía potencial de la partícula es de la forma:
donde ke es una cierta constante, estamos en presencia del mencionado problema.
Este problema tiene gran importancia pues cuando se tiene que la energía potencial tiene un mínimo en un punto dada, para los casos de movimiento unidimensional, y para las energías totales de partícula lo suficientemente pequeñas, entonces realizado un desarrollo en serie alrededor de ese punto, se llega a que:
donde U es el valor de la energía potencial en el punto donde tiene un mínimo esta magnitud y además no aparece la primera potencia de x porque en ese punto existe un mínimo y al evaluar la primera derivada allí, esta se anula. Por lo demás, como los valores de la energía total se han supuesto pequeños, no se toman términos en las potencias de x superiores a 2.
Ahora mediante el correspondiente cambio de referencia para medir las energías potenciales se puede llegar a ajustar que U sea nula y nos queda la forma típica del potencial de oscilador armónico. Por lo esta modelo nos puede servir para una primera aproximación a cualquier problema para el cual la partícula tenga un energía potencial con un mínimo, alrededor de ese mínimo y para los valores de la energía lo suficientemente pequeños.
Es evidente que para el problema del oscilador armónico se tiene un caso de estados estacionarios pues la energía potencial no depende explícitamente del tiempo. Esto nos resuelve rápidamente la parte temporal de la función de onda, en cuanto tengamos los valores de la energía permitidos.
Para la parte de la dependencia espacial, la ecuación de Schrodinger para los estados estacionarios correspondientes toma la forma:
donde E es la energía total de la partícula y w es la frecuencia angular de las oscilaciones que cumple que su cuadrado es igual a la relación entre la constante ke y la masa en reposo de la partícula m0.
Esta ecuación se puede expresar en términos de dos variables adimensionales definidas como:
Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:
Esta ecuación solo tiene soluciones no divergentes para los valores del parámetro tales que:
donde n es el número cuántico que cuantifica la energía.
En cuanto a las funciones de onda, en su parte de la dependencia espacial, estas se expresan en función de una funciones especiales llamadas Polinomios de Hermite, que vienen dados por:
De esta forma las funciones de onda expresadas en función de la variable adimensional y tomamos la condición de normalización, son:
con:
Volvamos al resultado obtenido en la búsqueda de los autovalores de la energía. Según la expresión obtenida para la variable adimensional relacionada con la energía, se llega a:
que demuestra que se trata de un espectro discreto de energía, tal y como debíamos esperar pues se trata de una partícula confinada a una pequeña región del espacio. Además se aprecia que para el valor más bajo del número cuántico n, la energía del estado básico no es nula lo que significa que la partícula no puede estar en reposo en el fondo del pozo de potencial. (Para cuando la posición sea x = 0, la energía potencial es nula y entonces la energía cinética será igual a la mitad del producto de la constante cruzada de Planck y la frecuencia angular.)
Nótese que en este caso también se advierte que para los grandes valores del número cuántico n, la diferencia relativa entre la energía de dos niveles contiguos, tiende a cero, según la expresión:
Además, sí en la expresión de la energía pudiéramos considerar que la constante cruzada de Planck fuera tan pequeña como necesitáramos, también se pudiera considerar la energía con un espectro continuo. Todo esto significa que el Principio de Correspondencia se pone de manifiesto en este caso particular.
Este resultado se puede generalizar: cuando los números cuánticos que caracterizan un problema mecanocuántico dado tienden a los valores muy grandes, las soluciones tienden a coincidir con las de la Mecánica Clásica.
En el aspecto epistemológico también estos progresos de la Mecánica Cuántica dieron su aportación a las ideas sobre la unificación del estudio de las distintos tipos de interacciones que se producen en la naturaleza.El estudio de las propiedades mecanocuánticas de las micropartículas permitió el avance en desentrañar las características de objetos físicos tales como los átomos y moléculas y los núcleos atómicos.
En cuanto a las propiedades de los átomos y las moléculas, esto permitió basar los estudios de las propiedades químicas sobre cimientos verdaderamente científicos y pasar de la mera descripción a las propiedades químicas a la predicción de propiedades e incluso al diseño de moléculas con determinadas propiedades, lo que ha repercutido en aplicaciones tales como los bioactivos y vacunas.
Los avances en el estudio de las propiedades del núcleo atómico han permitido lo que sin dudas ha construido uno de los logros más importantes de la humanidad y que es el dominio de fuentes de energía que permiten y permitirán, cuando se pueda controlar la reacción de fusión nuclear, al hombre propósitos de transformación de la naturaleza que pueden llegar a ser verdaderamente revolucionarios.
Además, las ideas sobre la cuantificación de las magnitudes que caracterizan los objetos del micromundo y la introducción de propiedades o magnitudes que no tienen paralelo en el macromundo, sentaron las bases para el estudio de la estructura interna de las llamadas partículas elementales y construir así la Teoría de los Quarks.
3.4 Tratamiento mecano - cuántico del átomo monoelectrónico
Introducción
Uno de los problemas de mayor importancia para la ciencias es establecer modelos que permitan explicar las propiedades de los átomos y con ellos de las sustancias, tanto desde el punto de vista físico como químico.
Por otro lado, las características de los espectros de emisión y absorción de las sustancias establecen un reto para cualquiera de estos modelos.
La Mecánica Cuántica como rama de la Física que explica los movimientos de las micropartículas confinadas a muy pequeñas regiones del espacio, tenía ante sí la tarea, natural, de explicar el comportamiento de los átomos y las relaciones entre esos comportamientos y su estructura interna.
Pero en su inmensa mayoría los átomo son entidades multielectrónicas, lo que supone las dificultades adicionales que trae aparejadas el problema de muchos cuerpos. Para ello se hace entonces uso de métodos aproximados de solución.
Una de las aplicaciones de mayor trascendencia de los avances de la Mecánica Cuántica es la búsqueda de las características de los estados de los electrones en los átomos.
3.4.1 Discusión inicialCon los resultados de estos estudios se puede llegar a considerar un modelo atómico más cercano a la realidad, pues debe recordase que estos electrones están confinada en muy pequeñas regiones propias de las dimensiones de los átomos, lo que se constituye en el llamado micromundo, región en la que fallan las teorías clásicas.
Como resultados de estas aplicaciones se ha podido construir las ciencias químicas, bioquímicas y otras ciencias afines sobre bases científicas, pues las interacciones químicas entre los átomos e iones, y los sistemas constituidos por ellos, son, el última instancia, resultado de las interacciones entre los electrones de los distintos átomos.
Pero en la gran complejidad de los distintos tipos de átomos, los más sencillos en su constitución, y por ende para su estudio, son los átomos que solo tienen dos partículas: el núcleo y un electrón. Tal es el caso del átomo de hidrógeno. También se tienen los casos del ion de helio, después de perder el átomo uno de los electrones, y el ion del litio, después de perder el átomo dos de sus tres electrones. Estos tres casos son los llamados átomos hidrogenoides, a pesar de que dos de ellos realmente son iones.
Precisamente se comenzará el estudio mecano - cuántico de este tipo de átomo.
Relación de afirmaciones para ser analizadas antes de estudiar el material:
El átomo es sistema eléctrico muy complejo y su carga eléctrica neta es nula cuando este no está ionizado.
En el átomo las cargas eléctricas positivas se encuentran separadas de las negativas de forma que ellas están en una región del átomo denominada núcleo atómico.
Los átomos, bajo determinadas condiciones, emiten ondas electromagnéticas de forma para cada tipo de átomo aislado existe se produce un espectro de emisión de rayas que es característico de cada tipo de átomos.
En los átomos los electrones realizan trayectorias alrededor del núcleo.
El número atómico caracteriza a cada tipo de elemento químico y este número es igual a la cantidad de electrones que tiene el átomo.
Para estudiar el movimiento de los electrones en el interior del átomo basta con aplicar las leyes de Newton.
Uno de los problemas mecanocuánticos de mayor interés es el caso de los electrones en los átomos.
En particular el caso de los llamados átomos monoelectrónicos es el más sencillo de estos problemas.
Propiamente hablando solo existe un verdadero átomo monoelectrónico: el hidrógeno. Sin embargo este concepto es habitual extenderlo para designar también a los iones que conservan un solo electrón. Así, el helio ionizado se constituye en un sistema, que a semejanza del átomo de hidrógeno está formado por el núcleo, en el cual están concentradas las cargas positivas, y un electrón. A diferencia del caso del átomo de hidrógeno, este sistema no es neutro desde el punto de vista eléctrico.
Una situación similar se tiene con el caso del átomo de litio cuando ha sufrido doblemente ionizado. De nuevo tendremos un sistema formado por un núcleo atómico y un solo electrón ligado.
En estos tres casos estamos en presencia de un sistema de dos cuerpos: el núcleo atómico y un electrón que interactúan entre sí con una fuerza que cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte (si se considera que el electrón y el núcleo tienen movimientos no relativistas) y que es la fuerza coulombiana.
Si en un sistema de referencia dado se buscan las coordenadas del centro de masa tal que:
donde m0e y m0n son las masas en reposo del electrón y el núcleo respectivamente y re y re son los radiovectores del electrón y el núcleo en el sistema de referencia dado.
Para el caso que nos ocupa, como la masa del electrón es cerca de mil veces menor que la núcleo (en el peor de los casos que es el del hidrógeno) se tiene que el radio vector del centro de masas es aproximadamente igual al radio vector del electrón.
De esta forma, si se pasa un sistema de referencia situado en el centro de masas, el problema puede ser reducido al problema de una partícula que tenga una masa igual a la masa reducida, dada por:
y que se mueva con respecto a un centro de fuerzas situado en el centro de masa.
Para el caso que nos ocupa, de los átomos monoelectrónicos, la masa en reposo del núcleo es del orden de mil veces la del electrón (esto es para el caso del hidrógeno, pues para el caso del helio ionizado es de cerca de 2 mil veces y para el caso del litio doblemente ionizado es de cerca de 3 mil veces). Por esta razón la masa reducida es aproximadamente igual a al masa en reposo del propio electrón.
Aunque como veremos después, el electrón es un fermión y en propiedad no se puede aplicar al ecuación de Schrodinger para estos casos, veamos cómo se puede intentar obtener la descripción mecano - cuántica de los posible estados del electrón en este tipo de átomo.
La primera tarea a realizar es analizar la forma de la energía potencial. Como se trata del potencial coulombiano para rapideces no relativistas, este energía potencial no depende explícitamente del tiempo, por lo que los estados del electrón serán estados estacionarios con valores bien definidos de la energía y de forma que al parte de la función de onda que nos describe la dependencia temporal viene dada por:
donde E es el correspondiente valor de la energía total del electrón en el estado dado.
La energía potencial vendrá dada por la expresión:
donde Z es el número atómico del correspondiente átomo y que coincide con el número de protones en el núcleo atómico; e es el valor modular de la carga del electrón y el módulo del vector r es la distancia hasta el centro de fuerzas.
Se observa que esta energía potencial presenta una simetría esférica con respecto al centro del fuerzas.
Es por ello que al plantear la forma concreta del hamiltoneano, es más conveniente, para simplificar la búsqueda de la soluciones, expresar, tanto el operador de la energía cinética como el de la energía potencial en función de las coordenadas esféricas elegidas de la forma que se muestra en la figura:
Así se tiene que la expresión para el hamiltoneano queda de la forma:
donde se tiene:
y se tiene que:
es el operador del módulo al cuadrado del momento angular del electrón.
Además, el operador de la componte del momento angular sobre un eje coordenado cartesiano arbitrario z tiene la forma:
El operador hamiltoneano actúa sobre la parte de la función de onda que representa sus dependencias con respecto a las coordenadas espaciales.
El método que se emplea en estos casos, gracias a que en el operador están separadas las operaciones con respecto a la variable radial de las variables angulares, es el denominado método de separación de variables.
De este modo:
donde YE,l,m son las funciones especiales que se denominan armónicos esféricos.
Cuando se aplica el operador del módulo del momento angular al cuadrado sobre estos armónicos esféricos se obtiene el siguiente resultado:
donde l es un número entero que toma valores desde cero hasta un valor que dependerá del valor de la energía para el estado del electrón.
Se dice entonces que los armónicos esféricos son autofunciones del operador del módulo al cuadrado del vector momento angular del electrón en su correspondiente estado cuántico. Y que los autovalores de esa magnitud para esos estados son l(l+1) por la constante cruzada de Planck, tomando l valores desde cero hasta un cierto valor que dependerá de la energía del estado.
Este número cuántico se determina "número cuántico orbital".
Los armónicos esféricos se definen por la expresión:
donde la función theta mayúscula viene definida por:
siendo la función P los llamados polinomios de Legendre que se expresan mediante:
En todo lo anterior el m es un número entero que toma valores entre -l y l. Este número se denomina "número cuántico magnético".
Los armónicos esféricos tienen un grupo de propiedades que, al ser ellos parte de la función de onda para los estados electrónicos en el átomo monoelectrónico, se relacionan con las características físicas de esos estados.
Así, por ejemplo, los armónicos esféricos son también autofunciones de otra magnitud física que es una proyección del momento angular con respecto a un eje cartesiano arbitrario, por ejemplo el eje de las z, tal que se tiene la ecuación:
lo que se aprecia enseguida de la definición de los armónicos esféricos.
Este hecho no solo nos informa acerca de que los autovalores de una de las proyecciones del momento angular toma los valores m por la constante cruzada de Planck, sino también que esta magnitud, al igual que el módulo del momento angular, toman valores bien definidos y a la vez en los estados del electrón en los cuales, por ser estados estacionarios, la energía también toma valores bien definidos. Esto, entre otras cosas, significa que estas magnitudes, las tres, pueden ser determinadas con toda precisión y a la vez en esos estados cuánticos.
Por otra parte los armónicos esféricos satisfacen la condición de ortonormalización, es decir:
donde la función d es la denominada delta de Kronner que cumple que sí los subíndices son iguales, ella vale 1 y sí son distintos, ella vale 0.
Pero volvamos a la parte radial de la función de onda: fE,l(r).
Si hacemos:
se llega a la siguiente ecuación para la función R:
Esta ecuación solo tiene dos tipos se soluciones.
Unas para los casos en que la energía E fuese positiva. Se puede demostrar, tomando en cuenta que el potencial coulombiano tiende a cero cuando el electrón esta infinitamente alejado del núcleo atómico, los valores de energía permitidos conforman un continuo.
Las otras soluciones se obtienen para los casos de los estados enlazados para los cuales la energía total del electrón es negativa. Para estos casos los valores permitidos de la energías conforman un conjunto discreto de valores. Se dice entonces que el espectro energético es discreto.
Los valores permitidos para la energía, y esto se obtiene al solucionar la ecuación de más arriba, son los que se obtienen de la expresión:
donde n es el número cuántico principal que es un entero que comienza en el valor 1.
Las soluciones para la parte de la función de onda de la variable que expresa la distancia desde electrón al centro de fuerzas se expresan a través de funciones especiales que se denominan serie hipergeométrica. Para más detalles se puede consultar el libro de Davidov.
En la gráfica que sigue a continuación se muestra la dependencia de la densidad radial de probabilidad de hallar al electrón, obtenida a través del producto de la parte de la función de onda que expresa su dependencia radial por su compleja conjugada para los casos de los estados 1s y 2s (correspondientemente n = 1 y l = 0 y n = 2 y l = 0).
Por otra parte se pueden obtener gráficos que expresen la distribución direccional de la densidad de probabilidad de hallar al electrón. En estos casos estos gráficos son gráficos polares del producto del correspondiente armónico esférico por su compleja conjugada, ya que estas funciones expresan las dependencias de la función de onda con los ángulos azimutal y zenital.
En la bibliografía indicada aparecen varios de esos gráficos.
Cuando se sustituyen en la ecuación de Schrodinger las funciones de onda, en su parte que expresa la dependencia al centro de fuerzas coulombianas, se obtienen los autovalores de la energía para esos estados descritos por esas autofunciones.
La energía, para los estados enlazados queda cuantificada de la forma siguiente:
donde Z es el número atómico del átomo hidrogenoide y n es el número cuántico principal, el cual toma los valores 1; 2; 3; ...
Como se aprecia el signo menos indica que se trata de estados enlazados, pues el nivel de energía potencial se toma como cero en puntos infinitamente alejados del núcleo.
Si hacemos
a la que llamaremos Constante de Rydberg para el hidrogenoide que para el cual la masa reducida entre el núcleo y el electrón es m.
La masa reducida tiende a la masa en reposo del electrón cuando se puede considerar que la masa en reposo del núcleo tiende a infinito frente a la masa en reposo del electrón. De ahí que:
que es la constante de Rydberg que se reporta en los libros.
Haciendo la adecuada aproximación se llega a establecer para la expresión de la energía de los estados enlazados que:
Si se realiza una gráfica de la energía del electrón para cada estado s en el átomo de hidrógeno se obtiene la siguiente gráfica:
Por otra parte del propio proceso de resolución de la ecuación de Schrodinger se llega a que los valores de n y l son tales que l = 0; 1; 2; ...; n-1, siendo l el número cuántico orbital.
Si se aplica el operador del cuadrado del momento angular a las autofunciones de la energía, se obtiene el importante resultado:
Esta expresión indica dos aspectos importantes: uno es que las autofunciones de la energía son también autofunciones de cuadrado del momento angular para el electrón en los átomos hidrogenoides y el otro que los autovalores del módulo del momento angular son la raíz cuadrada del producto l(l+1) multiplicado por la constante cruzada de Planck.
Por otro lado haciendo algo similar, pero con el operador de la proyección del momento angular a lo largo de una eje coordenado arbitrario, el cual seleccionaremos como el eje de las Z, se llega a:
Este expresión indica también dos consideraciones de suma importancia: también las autofunciones de la energía y del cuadrado del momento angular son autofunciones de una de las proyecciones del momento angular a lo largo de un eje arbitrario y que los autovalores de esa proyección son iguales al producto de un número entero, m, al que llamaremos número cuántico magnético, por la constante cruzada de Planck. Debemos recordar que m toma los valores enteros entre -l y l pasando por cero.
El hecho de que las autofunciones para el operador hamiltoneano, el operador el cuadrado del momento angular y del operador de una proyección del momento angular a lo largo de una dirección arbitraria sean comunes indica que estas tres magnitudes tomas valores bien definidos para los estados cuánticos del electrón enlazado en los átomos hidrogenoides y que estos valores pueden ser medidos simultáneamente.
Se puede comprobar que una vez elegida una dirección, por ejemplo la del eje de las Z para medir la correspondiente proyección del momento angular, las otras dos proyección cartesianas del momento angular no toman valores bien definidos y no pueden ser medidas, con absoluta precisión, a la vez que el módulo del momento angular y su componente ya elegida. Este resultado resulta novedoso, con respecto a la Mecánica Clásica, y nos indica que se puede conocer con toda precisión el modulo de un vector y una de sus componentes, pero se indeterminan las otras dos componentes cartesianas de ese vector. Todo ocurre como si el vector girara, apoyado en su base, alrededor de la dirección elegida de forma que la dirección elegida es la bisectriz de una medio cono y el segmento de recta que representa el vector fuera la directriz de ese medio cono.
Como se aprecia la energía, en su cuantificación solo depende del número cuántico principal, no así de los números cuánticos orbital y magnético. Esto indica que como para un mismo valor de n, existen n valores de l y para cada valor de l habrá 2l + 1 valores de m.
La cantidad de estados posibles del electrón en los átomos hidrogenoides que tienen la misma energía se puede calcular mediante:
A estos estados posibles (recuérdese que en este tipo de átomo hay un solo electrón y este solo puede ocupar, gracias al principio del atomismo, un solo estado a la vez) con la misma energía se les llama estados degenerados.
Uno de los problemas que tiene la aplicación de la ecuación de Schrodinger, que es una ecuación para la búsqueda de las autofunciones y los autovalores de la energía para partículas que sean bosones, al electrón de los átomos hidrogenoides, es que el electrón es un fermión.
Los fermiones tiene un valor semienteros de la constante cruzada de Planck de una proyección en una dirección elegida del momento de espín. El espín es una magnitud que no tiene similar clásico y que revela la naturaleza relativista.
Para estas partículas se tiene que resolver la ecuación de Dirac que sí toma en cuenta los aspectos relativistas de las micropartículas.
El estudio de esta ecuación sobrepasa los propósitos de este curso, pero basta decir que una de las formas de analizar este problema es considerar que las funciones de onda deben estar afectadas por un función de multiplicación que dependa de las llamadas variables de espín y por ende las nuevas autofunciones son autofunciones del operado hamiltoneano tal y como se aplica en la ecuación de Schrodinger.
Como resultado de la resolución de la ecuación de Dirac se tiene que al aplicarle un operador que caracterice a el cuadrado del momento de espín a estas nuevas, ellas resultan ser autofunciones de este operador, por lo que el cuadrado del momento de espín toma valores bien definidos y que pueden ser medidos a la vez que la energía, el cuadrado del momento angular y una proyección arbitraria del momento angular a lo largo de una dirección elegida. Además los autovalores de este operador del cuadrado del momento de espín serán los que se tienen de al ecuación:
donde s es el número cuántico de espín y toma el valor 1/2 para el caso que nos ocupa.
Por otro lado si elige la misma dirección que para medir una componente del momento angular, la proyección del momento de espín a lo largo de esa dirección toma valores bien definidos y cuantificados, pues se tiene la ecuación de autovalores y autofunciones siguiente:
donde ms es el número cuántico de proyección del espín que es toma los valores - 1/2 y 1/2.
Se tiene que con las otras dos componentes del momento de espín quedan indeterminadas de forma semejante a como ocurría con las del momento angular.
Con todo esto se obtiene que para describir el estado del electrón en los átomos hidrogenoides basta con dar los cuatro números cuánticos, n; l; m y ms.
Recalculemos ahora la cantidad de estados degenerados para un mismo nivel de energía de modo que como existen dos posibles valores de la ms esa cantidad es:
Por otra parte se cumple el llamado Principio de Exclusión de Pauli que establece que no pueden existir dos estados cuánticos distintos que tengan iguales todos los valores de los números cuánticos.
(Para el caso de los átomos multielectrónicos se suele decir que este principio establece que no puede haber dos electrones con la misma proyección del espín, pero para esto se ha de suponer que todos los demás números cuánticos coincidan.)
Como el electrón tiene dos momentos: el angular y el de espín y a cada uno de estos momentos le corresponde tener asociado un momento magnético (el asociado con el momento angular se puede interpretar fácilmente a partir de la consideración clásica de que el electrón girando en entorno de núcleo es como si hubiera una espira con corriente, pero en el caso del momento magnético asociado con el momento de espín no tienen una interpretación clásica); existirá un tipo de interacción entre estas dos magnitudes.
Para el caso de los átomos hidrogenoides, que disponen de un solo electrón, la única interacción posible es entre el momento angular y el momento de espín (realmente entre los momentos magnéticos asociados). Para el caso de los átomos multielectrónicos también existe la posibilidad de que prevalezca la interacción entre los momentos angulares de dos electrones y, por separado, la interacción entre los momentos de espín de esos mismos electrones.
Volviendo al caso de los átomos hidrogenoides, se podrá entonces definir una nueva magnitud, a la cual se le llama momento angular total y del cual su cuadrado está representada por un operador que es la suma de los operadores del momento angular y el operador del momento de espín elevada al cuadrado.
Resulta que las funciones que describen los estados del electrón en los átomos hidrogenoides son a la vez autofunciones de este operador, tal que:
donde j es el número cuántico que caracteriza el módulo del momento angular total.
Pero se puede buscar un operador para caracterizar una componente de ese momento angular total a lo largo de una dirección arbitraria, tal que se tiene:
donde mj es el número cuántico de la proyección del momento angular total a lo largo de una dirección arbitraria.
Los posibles valores de mj, que es un entero, van desde - j hasta j, pasando por cero.
Pero por otra parte como mj = m + ms se tiene que como toma solo dos valores que son -1/2 y 1/2 y toma los valores desde -l hasta l se tiene que los valores que puede tomar mj son:
Esto permite establecer que los dos posibles valores de j son: |l + s| y |l - s|, esto es: |l + 1/2| y |l - 1/2|
El electrón puede pasar de un estado a otro de energía distinta por absorción o emisión de energía. Solo que para absorber la energía debe ser que el agente externo, que puede ser un fotón, tenga la energía igual a la diferencia de energía entre los niveles correspondientes. También cuando se emite la energía, con la emisión de un fotón, esta energía es igual a la diferencia de las energías de los niveles involucrados.
Así el fotón emitido tendrá una energía igual:
donde f y l son la frecuencia y la longitud de onda del fotón emitido y ni y ni son los números cuánticos principales de los niveles inicial y final.
A partir de este resultado se puede establecer la llamada fórmula de espectroscopista:
que permite calcular las longitudes de onda de los fotones emitidos por un átomo hidrogenoide en una cualquiera de las transiciones electrónicas.
Para el caso específico del hidrógeno, para el cual Z tiene el valor 1, se tiene que se han estudiado experimentalmente, desde antes de lograrse estos avances de la Mecánica Cuántica, los datos sobre las longitudes de onda de las emisiones. Se han observado que estas líneas espectrales están agrupadas en series. Los datos de estas series se exponen en la siguiente tabla:
Serie nf ni Zona Lyman 1 2; 3; 4; ... Ultravioleta Balmer 2 3; 4; 5; ... Ultravioleta y cuatro líneas en el visible (las correspondientes a los valores de ni igual a 3; 4; 5 y 6). Paschen 3 4; 5; 6; ... Infrarrojo Brackett 4 5; 6; 7; ... Infrarrojo Pfund 5 6; 7; 8; ... Infrarrojo
3.4.4 Comparación del tratamiento cuántico con el modelo de BohrLos ondas electromagnéticas emitidas por los átomos, en este caso por los átomos hidrogenoides, como consecuencia de estas transiciones electrónicas son características de cada tipo de átomo, lo que significa que el espectro de ondas emitida por cada tipo de átomo es como la "huella" o la impronta de cada tipo de átomo. Esta es la base de los métodos espectrocópicos de análisis químico cualitativo y cuantitativo.
Por otra parte estas ondas son linealmente polarizadas.
Otro elemento importante es la probabilidad de que se produzca un tipo de transición electrónica. Las transiciones más probables en un muestra grande de átomos de un mismo tipo y que estén en diferentes estados de excitación, se corresponde con la intensidad relativa de la línea espectral asociada.
Veamos, según la Teoría Clásica el flujo de energía radiada en forma de ondas electromagnéticas por una partícula con carga eléctrica y acelerada, obedece a la ecuación:
donde r es el vector de posición de la partícula de carga e.
Pero en el caso cuántico esta ecuación se hace válida solo si se toma la segunda derivada temporal total del valor medio de vector de posición (esto está condicionado por el hecho de que en términos de los valores medios se satisface la llamada ecuación de Ehrenfest que tiene una forma semejante a la Segunda Ley de Newton).
Así se tiene:
donde <r> es el valor medio del vector de posición y se determina por la expresión:
Si el electrón permanece en uno de los estados estacionarios, para los cuales la parte de la función de onda que expresa la dependencia temporal está determinada por una exponencial de coeficiente imaginario puro y proporcional a la energía del estado, se tiene que:
que se aprecia que no depende del tiempo y esto concuerda perfectamente con el hecho establecido de que mientras el electrón se encuentre en uno de los estados estacionarios no radia energía.
Pero al pasar de uno de estos estados a otro se tendría el término:
Como las partes de las funciones de onda que determinan sus dependencias temporales son tales que:
Por ello se obtiene que:
Sustituyendo en la expresión para el flujo de energía emitido y como esa energía es emita en forma de fotones de energía Ej - Ek, que al ser dividida por la constante cruzada de Planck nos da la frecuencia angular de la radiación emitida, se obtiene que la probabilidad de emisión es igual a:
De esta expresión se aprecia que si el factor que está formado por el cuadrado del módulo de la integral que aparece en la expresión es nulo esto indica que la probabilidad de que ocurra la transición electrónica será nula y que esa transición estará prohibida.
Para el caso que nos ocupa del electrón en un átomo hidrogenoide y recordando cuales eran las funciones que indican la parte de las dependencias espaciales que son soluciones para la ecuación de Schrodinger para estos estados estacionarios se llega las siguientes reglas de selección: para que la transición no tenga una probabilidad nula debe ocurrir que las variaciones de los números cuánticos orbital y magnético al pasar el electrón de un estado a otro deben ser:
Estas reglas significan que las posibles transiciones que las incumplan, no se producirán.
Estas reglas son válidas para todos los átomos, siempre que se pueda considerar que el campo de fuerzas es central.
Por otra parte estas reglas son expresión concreta de la ley de conservación del momento angular, pero no solo considerando el momento angular del electrón, sino el de todas las partículas del sistema, incluyendo el fotón.
Para el momento angular total, se puede hacer una extensión de estas reglas de selección.
En el modelo atómico propuesto por Bohr a principios de siglo pasado se introdujeron por primera vez las ideas de la cuantificación en un modelo atómico. Bohr, en su modelo inicial construyó dos postulados en los que establecía:
con n = 1; 2; 3; ...
Y mientras el electrón se encontraba en una de estas órbitas no radiaba y absorbía energía.
3.4.5 Conclusiones
Estos postulados plantean la cuantificación del momento angular y de la energía de los electrones en los átomos. Aún en contradicción con lo indicado por la Mecánica Clásica sobre la continuidad en los valores del módulo del momento cinético de una partícula con una trayectoria circular alrededor de un centro y de la Electrodinámica Clásica que establece que toda partícula cargada eléctricamente radia energía en forma de ondas electromagnéticas.
Este modelo tenía sin embargo un problema metodológico de primer orden, pues después de desechar los resultados de la Mecánica y la Electrodinámica Clásicas, las utiliza en su intento para hallar la expresión para la energía y las otras magnitudes relacionadas con el movimiento del electrón, por ejemplo en el átomo de hidrógeno.
Hay apuntar que este modelo logró, para el caso del átomo de hidrógeno cierto éxito pues la expresión para la energía del electrón en los distintos niveles coincide con la que más tarde logró obtener la Mecánica Cuántica.
Para el caso de los valores del módulo del momento angular, para el cual en el tratamiento cuántico se estableció que cumple:
donde l es el número cuántico orbital y que toma valores desde cero hasta n-1, siendo n el número cuántico principal o número cuántico de la energía.
Existe cierta coincidencia entre este resultado y el contenido del primer postulado de Bohr en cuanto que el módulo del momento angular está cuantificado.
Pero se aprecia que existen diferencias entre este resultado y el contenido del primer principio de Bohr.
La primera de estas diferencias estriba en que no es el módulo del momento cinético un número entero de h cruzada. Otra importante diferencia es que en el resultado cuántico está permitido el valor nulo (l = 0) para el módulo del momento cinético, en tanto según el postulado ce Bohr este valor nunca podría ser tomado (desde el punto de vista de al Mecánica Clásica para este valor nulo la órbita no sería tal, pues el electrón describiría un movimiento oscilatorio sobre una recta que pasara por el centro de fuerzas)
Nótese que para el máximo valor de l en cada caso y para los casos de n grande se tiene que los resultados de la Mecánica Cuántica se asemejan cada vez más a los del modelo de Bohr.
Otra diferencia muy significativa en que según los resultados de aplicar la Mecánica Cuántica a la resolución del átomo de hidrógeno se tiene que existe, para cada estado una dependencia con la distancia al centro del núcleo de la probabilidad de hallar al electrón. Esto indica que no existen las órbitas previstas en los postulados de Bohr. Incluso para algunos de estos estados esa función que describe la dependencia de al probabilidad de hallar al electrón con el radio o distancia al centro de fuerzas puede tomar, a alguna distancia del centro, el valor nulo, con dos o más máximos relativos de esa probabilidad, cada uno a cierta distancia del núcleo, lo que no se corresponde en los resultados del modelo de Bohr que establece la cuantificación de los radios de la órbitas que ese modelo postula.
Otras incongruencias, surgidas de su carácter ecléctico, del modelo de Bohr están en su incapacidad para explicar el estado de polarización de las fotones emitidos por lo átomos y no poder explicar los espectros de los átomos multielectrónicos y la llamada estructura fina del espectro del átomo de hidrógeno.
El modelo mecano - cuántico de los átomos hidrogenoides describe por completo los resultados de los experimentos.
Además este modelo, con su correspondiente extensión a los átomos multielectrónico y a las unidades estructurales que componen la sustancia tales como moléculas y otras, extensión basada en cálculos aproximados pues el problema de muchos cuerpos no tiene solución por cuadraturas aún en la región macroscópica, ha permitido la explicación sobre bases científicas de las propiedades químicas de los átomos, de las sustancias mismas.
Por otra parte, las correspondientes consecuencias de las aplicación de la Mecánica Cuántica a las entidades que componen las sustancias en sus distintos estados de agregación han permitido, por ejemplo, la explicación de las propiedades físico - química de los sólidos, líquidos, gases, etc.
Esto ha permitido las más disímiles aplicaciones y el desarrollo de la Ciencia de Materiales.
Los métodos avanzados para los cálculos aproximados necesarios para los problemas de muchos cuerpos (partículas) y la potencia actual de los instrumentos de cálculo electrónico han colaborado en esta tarea importante para la ciencia y la tecnología de hoy, y por ende, para la sociedad.
3.5 Tratamiento mecano - cuántico del átomo multielectrónico
Introducción
3.5.1 Discusión inicialUno de los problemas de mayor importancia para la ciencias es establecer modelos que permitan explicar las propiedades de los átomos y con ellos de las sustancias, tanto desde el punto de vista físico como químico.
Por otro lado, las características de los espectros de emisión y absorción de las sustancias establecen un reto para cualquiera de estos modelos.
La Mecánica Cuántica como rama de la Física que explica los movimientos de las micropartículas confinadas a muy pequeñas regiones del espacio, tenía ante sí la tarea, natural, de explicar el comportamiento de los átomos y las relaciones entre esos comportamientos y su estructura interna.
Pero en su inmensa mayoría los átomo son entidades multielectrónicas, lo que supone las dificultades adicionales que trae aparejadas el problema de muchos cuerpos. Para ello se hace entonces uso de métodos aproximados de solución.
Si el problema de establecer un modelo cuántico para los átomos era ya de por sí complicado, cuando se intenta extender estos modelos y teorías al caso de las moléculas y otras entidades estructurales complejas de las sustancia, las dificultades se acrecientan, entre otras razones, por la disimilitud de los tipos de interrelaciones que afectan a las partículas que componen esas unidades estructurales y de los tipos y cantidades de partículas que están involucradas en esas interacciones.
Por último como consecuencia de la existencia de niveles discretos de energía para las partículas que componen la sustancia, se tiene la posibilidad de tener emisiones de radiaciones desde esas sustancias con características muy especiales como es el caso del Láser.
Sobre esos asuntos versará el material que se expone a continuación.
Relación de afirmaciones para ser analizadas antes de estudiar el material:
Cada electrón en el interior de una átomo tiene dos momentos magnéticos, uno el asociado con el momento angular y el otro con el momento de espín.
Los espectros de emisión de las moléculas no son parecido a los espectros de emisión de los átomos que la componen. Los espectros de las moléculas son espectros de bandas agrupadas en grupos y para cada molécula hay varios grupos de estas bandas.
En todos los casos, en el equilibrio termodinámico, existen para una sustancia dada más unidades estructurales que conforman el cuerpo formado por esa sustancia que tienen sus electrones ocupando los niveles de energía más bajos posibles.
El láser es una luz especial que se emite por la acción estimuladora de la incidencia de un fotón sobre las unidades estructurales de las que componen la sustancia dada que tengan electrones en estados excitados metaestables.
La luz emitida por una láser es extraordinariamente coherente y monocromática.
3.5.3 El átomo multielectrónicoExperimentalmente se determinó que al aplicar un campo magnético externo a los átomos multielectrónicos las líneas espectrales se dividen en varias líneas.
Veamos la explicación de este fenómeno desde el modelo mecano - cuántico.
El electrón tiene asociado un momento magnético debido a su momento angular orbital. La relación de estas magnitudes es la siguiente:
La constante de proporcionalidad entre los módulos de ambos vectores de determina relación giromagnética del electrón en su estado cuántico dado.
En esta expresión el signo negativo indica que los vectores momento magnético orbital y el momento angular orbital tiene la misma dirección, pero, debido a la negatividad de la carga del electrón, estos dos vectores son antiparalelos.
Cuando se aplica un campo magnético externo uniforme se produce una interacción del electrón, en el estado dado, gracias a que él posee este momento magnético asociado con su momento angular.
Se puede probar que el operador hamiltoneano en este caso, y con la aproximación en la cual no se toma en cuenta la contribución del módulo del vector inducción magnética al cuadrado debido entre otros factores a que hemos considerado los casos en que el módulo del vector inducción magnética sea pequeño, queda:
donde el operador con subíndice cero es el operador hamiltoneano en ausencia del campo magnético.
Uno de los métodos que se han ideado para resolver estos casos es el llamado Teoría de Perturbaciones que se basa en consideran que las autofunciones, en la aproximación cero son las mismas autofunciones del operador del problema sin perturbar, y que los autovalores de la energía, en la primera aproximación se obtienen de la expresión:
donde es la perturbación del hamiltoneano.
Esta aproximación es válida en la medida que la diferencia entre el hamiltoneano del problema sin perturbar y el del problema perturbado, sea "pequeña".
Para este caso se tiene, entonces:
Pero como para el problema sin perturbar las autofunciones del operador hamiltoneado y de la proyección del momento angular a lo largo de la dirección del campo magnético aplicado son las mismas, entonces se tiene que:
Esto significa que al producirse una transición electrónica desde un estado a otro, estando aplicado el campo magnético externo uniforme, la frecuencia de la luz emitida sería:
donde w0 es la frecuencia angular de la radiación luminosa emitida cuando se produce esa misma transición sin estar aplicado el campo magnético externo.
La magnitud
se denomina Magnetón de Bohr y en el SI toma el valor es 0,92731×10-23 A×m2 y es la unidad natural para medir los módulos de los momentos magnéticos asociados con el electrón en los átomos.
Y tomando en cuenta las reglas de selección que indica que la variación del número magnético, en una transición, debe ser -1, 0 o 1, se tiene que la línea espectral asociada con esta transición se divide en tres líneas bajo los efectos del campo magnético externo uniforme de modo que las frecuencias angulares de estas tres líneas serán:
Este resultado explica el llamado Efecto Zeeman Normal.
Veamos algunos casos de interés:
Caso A: para los estados con l = 0 (estados s) como m = 0, esto indica que los niveles no se modifican.
Caso B: para los estados con l = 1 (estados p), m toma los valores -1, = y 1, lo que indica que cada nivel o estado se divide en tres. Se dice que se rompe la degeneración.
Si se tiene una transición electrónica desde un estado p hasta un nivel s, se tendría ahora tres líneas espectrales posibles.
Pero ocurre que también el electrón tiene asociado su propio momento magnético intrínseco asociado con el momento de espín. Pero en ese caso, y esto es una característica que distingue, entre otras al momento angular y el momento de espín; la relación giromagnética para el momento magnético intrínseco es como sigue:
Tomando en cuanta este momento magnético y manteniendo la suposición de que la intensidad del campo magnético es tan pequeña como para no romper la interacción espín - órbita, el momento magnético total de electrón será:
Esta expresión muestra que el momento magnético total del electrón no tiene la misma dirección que el momento angular total del electrón y esto es consecuencia de que la relación giromagnética para el caso del espín es dos veces mayor que la del caso del momento angular.
Se puede llegar a establecer que se cumple que para la componente del momento magnético total sobre la dirección del momento angular total se tiene:
donde g es el llamado Factor de Landé que viene dado por:
Razonando de forma semejante a como se hizo más arriba se puede probar que la energía de un estado dado pudiera ser:
Estos casos son muy semejantes a los del Efecto Zeeman Normal, pero ahora debido que se toma en cuenta la existencia del espín y para los casos en que la intensidad del campo magnético aplicado sea lo suficientemente pequeño como para romper la interacción espín - órbita, la "separación" energética de los estados dependerá linealmente del factor de Landé y además la degeneración se rompe por mj y no por m.
La interacción espín - órbita tiene su causa en la interacción entre los momentos magnéticos asociados con el momento angular y con el momento de espín del electrón.
A esto se le llama Efecto Zeeman Anómalo.
Para los casos en que el campo magnético aplicado sea tan intenso que se rompe la interacción espín - órbita se tiene que el campo magnético interactúa, de forma independiente, con el momento magnético asociado con el momento angular y con el momento magnético asociado con el momento de espín. De esta forma se tiene que la energía de cada nivel toma la forma:
Ahora se produce el llamado Efecto Paschen - Back.
Para tomar en cuenta la tanto el espín del electrón como los aspectos relativistas en general, se debe hacer uso de la Ecuación de Dirac.
El modelo mecano - cuántico es aplicable también a los átomos con más de un electrón, pero en estos casos los métodos de solución han de ser aproximados pues se trata de sistemas de muchos cuerpos.
Veamos cómo se pueden modelar estos sistemas.
Se trata de sistemas constituidos por el núcleo, de carga eléctrica positiva, igual a Ze, y de los Z electrones, para los casos de los átomos neutros, es decir, átomos sin ionizar.
La interacción de cada electrón, en primera aproximación es electrostática con el núcleo. Es evidente que también existen otras interacciones, como por ejemplo la interacción electrostática con los demás electrones, pero en este primer acercamiento no la tomaremos en cuenta.
Para el sistema de electrones, todos idénticos, se puede plantear la ecuación de Schrodinger de forma que el operador hamiltoneano quede expresado por:
Donde N es la cantidad de electrones y el vector ri es el vector de posición del electrón i-ésimo. El operador de la Laplace de subíndice i opera con respecto a las coordenadas del i-ésimo electrón. En esta expresión se aprecia que los electrones no interactúan entre ellos y que la interacción con el núcleo no depende del explícitamente del tiempo y que por tanto los estados serán estacionarios.
Sea la función jk(ri) solución de la ecuación:
Entonces se puede probar que la función formada por el producto de las N funciones jk, sin repetir el subíndice es solución de la ecuación de Schrodinger con el hamiltoneano indicado más arriba para el sistema y siendo la energía del sistema de electrones igual a la suma:
Pero ocurre que si se permutan cualquier par de electrones, uno por el otro, como ellos son idénticos, la energía del sistema no puede variar. Entonces una combinación lineal de todos los productos de las N funciones jk, sin repetir el valor de k en cada producto, es también solución de la ecuación de Schrodinger para el sistema.
De las infinitas combinaciones lineales de estos productos se ha de tomar aquellas que garanticen que al permutar cualquier electrón por otro no se altere el valor de la densidad de probabilidad en cada punto.
Ahora, existen las funciones que surgen como combinaciones lineales de todos N! posibles productos de las funciones jk, para todos las de forma que los coeficientes sean todos definidos positivos. A estas funciones se les llamará funciones simétricas, pues al hacer cualquier permuta entre un electrón y otro, nunca cambiará de signo.
Otra posibilidad es la construcción de funciones antisimétrica para las cuales los coeficientes de la combinación lineal van alternado su signo de forma que ante cualquier permuta de un electrón por otro, la función cambie de signo.
Tal combinación de productos, por definición está asociada con el determinante:
donde el factor relacionado con el inverso de la raíz cuadrada de la cantidad total de electrones aparece por la condición de normalización de las funciones que son soluciones de la ecuación de Schrodinger.
Este determinante recibe el nombre de Determinante de Slater.
Los experimentos han demostrado que para los fermiones, y los electrones lo son, solo son posibles las funciones antisimétricas, como consecuencia del Principio de Exclusión de Pauli.
Cuando sea necesario tomar en cuenta otras interacciones de las que participen los electrones, tales como la interacción espín - órbita, ocasionada por la existencia de dos momentos magnéticos para el electrón: uno asociado con el momento angular y el otro con el momento de espín; o las interacciones electrón - electrón, (estas últimas menos intensas) se hace uso métodos aproximados, como pueden ser los métodos de la Teoría de Perturbaciones.
Existen variados métodos para intentar resolver este típico problema mecano - cuántico de muchos cuerpos. Entre tales métodos se destacan: el Campo Autoconsistente de Hartree y el de Hartree - Fock; el de la Teoría de la Perturbaciones; el Método Estadístico de Thomas - Fermi, etc.
En la actualidad la potencia de cálculo de las computadoras ha sido puesta al servicio de desarrollar estos y otros métodos aproximados con el fin de encontrar las autofunciones que describen los estados cuánticos de los electrones en los átomos multielectrónicos, sus espectros de energía y los valores de las principales magnitudes que describen esos estados.
La Mecánica Cuántica ha demostrado su certeza al poder explicar los principales fenómenos en los que intervienen los distintos tipos de átomos, en particular sus propiedades químicas y cómo ellos pueden reaccionar entre sí y las características de los espectros de esos átomos.
3.5.4 Moléculas. Niveles de energía vibracionales y rotacionales. Limitaciones del tratamiento cuántico
Las moléculas son sistemas complejos formados por varios átomos que la constituyen gracias a las interacciones entre ellos y las características de estas interacciones están en dependencia del tipo de enlace que se produce. Estas interacciones influyen principalmente sobre los electrones más energéticos de cada átomo.
Las moléculas emiten espectros de ondas electromagnéticas que en general se diferencias considerablemente de los espectros de los átomos que la componen. Esto es el resultado de todas las interacciones que en el caso de la molécula sufren los electrones de esos átomos, sobre todo los electrones más energéticos, es decir, en general, los de las últimas capas electrónicas.
Las características de los espectros de las moléculas son las siguientes:
| Las líneas espectrales se aproximan tanto que se forman bandas. Cada banda tiene, en cuanto al valor de la frecuencia, una "cabeza" con un borde bien definido y el otro extremo es difuso. La cabeza puede de cada banda puede estar hacia los menores valores de la frecuencia o hacia los mayores valores en cada banda. |
| Las bandas se agrupan en determinados grupos, quedando zonas de frecuencia en las cuales la molécula no emite luz. |
| En el espectro de una misma molécula puede haber varios grupos de bandas. |
| La energía de los electrones de la molécula, sobre todo los electrones que aporta cada átomo a participar en el enlace químico que se produce en la molécula, Eel. |
| La energía de rotación de la molécula como un todo, Er. |
| La energía de vibración de los núcleos de los átomos que componen la molécula, Ev. |
De esta forma la energía total de la molécula puede ser escrita de forma aproximada como:
Esta expresión es aproximada pues cada una de estas energías en cada caso depende en cierta medida de los valores de las otras dos.
Las dificultades del tratamiento cuántico de las moléculas radican no solo en la complejidad de sus estructuras internas y de la gran diversidad de átomos que la pueden componer, sino también en el hecho de que todos los electrones presentes en sus estructuras no tienen el mismo grado de participación en las interacciones que se producen en el seno de la molécula y esto está en dependencia del tipo de enlace entre los átomos que componen dicha molécula. Así se tiene que hay determinada cantidad de electrones que mantienen su interacción fundamental con el núcleo de origen y otros para los cuales su interacción fundamental es con los núcleos de otros átomos o con los otros electrones. Tómese en cuenta que aún los electrones que permanecen ligados principalmente a su núcleo de origen tienen otras interacciones que antes de formarse la molécula no tenían.
Además, los propios movimientos de los núcleos, conjuntamente con los electrones que se mantienen enlazados a ellos, han de ser tomados en cuanta.
Estos hechos dificultan extraordinariamente la modelación de estas entidades desde el punto de vista cuántico.
3.5.5 Principios de funcionamiento del Láser. Diferentes tipos de Láseres
Cuando los electrones están en estados excitados se produce la transición hacia un estado menos energético, emitiendo un fotón de frecuencia tal que ella depende de la diferencia de energía entre los estados involucrados en la transición.
Los procesos de la emisión de estos fotones pueden producirse de forma espontánea o en forma estimulada. La estimulación del proceso de emisión se produce por la incidencia sobre las unidades estructurales que componen la sustancia de fotones que tengan exactamente la misma frecuencia del fotón que será emitido.
Si las probabilidades de que ambos procesos, el espontáneo y el estimulado, difieren de manera tal que el primer tipo de transición sea poco probable se puede lograr lo que se conoce como Inversión de al Población, que son los casos en que una gran cantidad de electrones en las unidades estructurales en el estado excitado.
En el equilibrio termodinámico la distribución de electrones en los distintos niveles de energía viene dada por la Ley de Boltzmann que expresa:
donde N es número total de átomos u unidades estructurales; Ni es la cantidad de esas unidades que tienen un electrón en el estado i; E es la energía del nivel o estado dado; kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. En lo anterior se ha supuesto, para simplificar el análisis que no hay degeneración en los niveles.
Nótese que al aumentar la energía del nivel, la cantidad de unidades estructurales que tienen un electrón en ese estado disminuye exponencialmente.
La relación entre la cantidad de unidades estructurales que tienen un electrón en el nivel o estado i a la cantidad de las que lo tienen en el nivel j viene dada por:
Si se tiene que la energía del nivel i es mayor que la del nivel j, ¿cómo se puede asumir que la cantidad de unidades estructurales con un electrón en el nivel i sea mayor que la cantidad que lo tienen en el nivel j, es decir que se tiene una población invertida?
Admitiendo formalmente que la temperatura absoluta es menor que cero se ve claramente que la población estaría invertida. Pero esta temperatura negativa no se corresponde con temperaturas por debajo del cero absoluto, lo que entrañaría una violación del Tercer Principio de la Termodinámica, sino todo lo contrario. Estas temperaturas negativas son superiores al valor infinito de la temperatura absoluta. Es evidente que esto solo es admisible en el plano formal.
Cuando se tiene un cuerpo formado por unidades estructurales en los cuales la estructura de niveles permita que exista al menos un nivel o estado excitado para el cual la probabilidad de que ocurra la transición hacia un nivel menos energético es baja, lo que lleva a que se pueda considerar como metaestable ese nivel excitado, se producirá la inversión de la población; se puede lograr que al incidir un fotón con la frecuencia igual a la del fotón que se emite cuando el electrón realice la transición antes mencionada, pero de forma estimulada y que la probabilidad de esa transición estimulada sea relativamente grande, se producirá un efecto de amplificación de la intensidad luminosa, pues al fotón incidente se le sumará el fotón emitido que tiene su misma frecuencia y el mismo estado de polarización y que se mueven en la misma dirección y sentido. Como puede producirse un efecto de avalancha, pues ahora esos dos fotones idénticos, podrán estimular el proceso de emisión de otros dos y así el número de fotones idénticos crece exponencialmente, lo permite lograr grandes valores de la intensidad luminosa y haces de luz de gran monocromaticidad y linealmente polarizada y que tienen un alto grado de colimación.
Este tipo de radiación obtenida por este principio se denomina LÁSER, a partir de las siglas en inglés de la frase "Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation", que traducida al español significa amplificación de la luz por emisión estimulada de la radiación.
Existen variados tipos de Láseres. Una de las clasificaciones está relacionada con el estado de agregación de la sustancia que constituye el llamado Cuerpo Láser. Así existen los láseres cuyos cuerpos son sólidos, líquidos y gases. Otra de las clasificaciones está relacionada con si el régimen de emisión es continuo o si es a pulsos.
Un ejemplo típico del láser a cuerpo sólido es el caso del láser de rubí. El rubí es un cristal de óxido de aluminio (Al2O3) en el cual algunos iones de aluminio están sustituido por iones de cromo (Cr3+) (estos iones sustituidos son los responsables de producir los llamados centros de color que dan la tonalidad típica de este material).
Una representación simplificada de lo que ocurre se muestra en la figura siguiente:
Ocurre que la probabilidad W1,3 de la transición hacia un nivel excitado 3 desde el nivel básico 1, por acción del llamado bombeo, es mucho mayor que la probabilidad espontánea de emitir un fotón de igual frecuencia que el absorbido, A3,1 y esta última es menor que la de pasar al estado intermedio 2, S3,2. Este estado intermedio es metaestable, indicando esto que el tiempo de vida del electrón en ese estado es relativamente más largo que el de los niveles excitados habituales. Se tiene que el tiempo de vida de este estado metaestable es cercano a la milésima de segundo, por lo que es unas 100 000 veces mayor que la de los niveles excitados comunes. Por otra parte, la probabilidad, de emisión espontánea es mucho menor que la probabilidad de la misma transición, pero por efecto de la estimulación que provoca el correspondiente fotón.
Toda esta situación va provocando que a partir de la transición inicial lograda por la lámpara de bombeo que es una lámpara de impulsos de xenón y que emite los fotones necesarios y de la longitud de onda necesaria, se logre la inversión de la población.
Como la energía emitida al pasar el electrón del nivel 3 al 2, va calentando el cuerpo láser, que concretamente en este tipo de láseres está formado por un barra de sección circular y de una longitud aproximada de 5 cm y un diámetro de la sección transversal de 1 cm, es necesario un enfriamiento del cuerpo láser y que en este caso se hace por medio de la circulación de agua por una cámara que rodea al cuerpo láser.
Puede verse en la bibliografía la representación gráfica de este tipo de dispositivo.
Otro tipo de láser, pero esta vez gaseoso, es el de He - Ne.
Ahora el cuerpo láser es una mezcla enrarecida de estos dos gases a través de la cual se hace pasar una corriente eléctrica lo que provoca que aparezcan niveles excitados en las átomos de helio en dos niveles metaestables. Estos átomos ceden su energía a los átomos de neón por choques, lo que provoca que aparezcan muchos átomos de neón con un electrón en un estado excitado (población inversa). El tubo que contiene esta mezcla de gases se encuentra entre dos espejos, uno de los cuales deja pasar la luz láser cada cierto tiempo y por ello este tipo de láser es de pulsos. La radiación de este tipo de láser se produce en las longitudes de onda de 1 150 nm (infrarroja) y 632 nm (rojo).
Entre las características de la radiación de este tipo de láseres están las siguientes:
| Alta monocromaticidad: ( es cercana a 10 pm). |
| Gran coherencia en el tiempo y el espacio. |
| Gran intensidad. |
| Estrechez (colimación) del haz. |
La gran intensidad y la estrechez permiten obtener una densidad de flujo de energía que supera en una 1 000 veces la que puede ser obtenida al enfocar la luz solar. Estos haces tan intensos y concentrados se pueden utilizar en varios tipos de tratamientos de metales y materiales; para soldaras, taladros, etc. y para influir en la marcha de las reacciones químicas.
También la alta direccionalidad permite usar el láser como elemento trazado de objetos de obras como túneles, vías férreas de trenes súper rápidos y de elementos de puntería, etc.
La alta coherencia permite importantes aplicaciones en las comunicaciones y en el tratamiento de la información digitalizada, así como la holografía.
3.5.6 Conclusiones
Los avances de la Mecánica Cuántica en el estudio de los átomos en general y las moléculas, han permitido la fundamentación de las principales propiedades físicas y químicas de estas entidades sobre bases verdaderamente científicas. Y esto significa no solo la descripción de estas propiedades, sino, y esto es lo más importante, la profundización de la capacidades de predicción de forma que actualmente se pueden "construir" sustancias que posean las propiedades deseadas. Esto ha sido de primordial importancia en los logros de la Ciencia de los Materiales y en los avances de la Ciencias Farmacéuticas y las Ciencias Biológicas en general.
Otro campo muy importante de las aplicaciones que han surgido como consecuencia de los avances de la Mecánica Cuántica al explicar el comportamiento de los átomos y moléculas ha sido la construcción de láseres.
Este tipo de radiación, por sus excelentes propiedades, ha sido utilizada ampliamente en diversas ramas de las ciencias y las tecnologías. Desde medios de comunicación y codificación y decodificación de la información; elementos de localización, como el caso del Lunajod en un proyecto entre la antigua URSS y Francia; el tratamiento superficial de aceros y aleaciones, el maquinado, en especial el barrenado, de piezas metálicas y de otros tipo; la soldadura; sistemas de colimación y trazado de partes rectas de objetos de obra, elementos de puntería en distintos tipos de armas, el láser, gracias a su potencia como un arma el mismo (parte del proyecto de la llamada "Guerra de las Galaxias" se fundamenta en la utilización de láseres de gran intensidad para destruir los misiles); la Holografía, cuya idea parte de que por la gran coherencia de la luz láser, se pueden superponer dos haces láseres, uno de referencia y otro que haya interactuado con un objeto y de esta forma, y gracias al fenómeno de la interferencia, poder recibir no solo la información sobre el objeto que habitualmente nos dan la intensidad y la frecuencia de la ondas luminosas que han interactuado con ese objeto, sino también la información que puede estar contenida en las fases iniciales de esas ondas; etc.
Hoy la vida del hombre parecería imposible sin la utilización de esas técnicas.
